08 跳台阶

本文探讨了一只青蛙跳上n级台阶的不同跳法数量问题,并通过动态规划(DP)的方法提供了有效的解决方案。当台阶只有1阶或2阶时,跳法明显;随着台阶数增加,解法依赖于前两级台阶的跳法数量,形成了递推关系。

题目描述
一只青蛙一次可以跳上1级台阶,也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法(先后次序不同算不同的结果)。

看到题解才发现可以用DP去解…看了半天才看懂…
思路:
当成 dp 问题来想的话:首先分析问题,它最终解是由前面的解累积起来的解,如何缩小问题的规模?

首先可知,第一阶有只能一步,一种;,第二阶可以两次一步、一次两步两种

当台阶只有1阶的时候: 只能跳一步,一种
当台阶只有2阶的时候:可以跳一步或者跳2步,两种

当台阶有3阶的时候:
跳2步到第3阶: 就是第一步要跳1步才可以 ,只有1种方法
跳1步到第3阶: 就是前2步跳1步或者2步,有2种方法

当台阶有N阶的时候:
跳2步到第N阶: 就是起跳到n-2阶楼梯,设为pre2种方法
跳1步到第N阶: 就是起跳到n-1阶楼梯,设为pre1种方法

同时可以发现第 n 阶的解法,只要用到 n - 1 和 n - 2 阶是多少,其他的不用考虑,因此用两个变量临时存下来即可
dp(i) = dp(i-2) + dp(i-1)

public class Solution {
    public int JumpFloor(int target) {
        if(target <= 2){
            return target;
        } else {
			return JumpFloor(target - 1) +JumpFloor(target -2);
		}
       
       
    }
}
<think>好的,我现在需要解决用户关于台阶问题的动态规划算法实现。首先,用户提到了多个引用,其中引用[2]和[5]提到青蛙台阶的动态规划解法,而引用[1]中的代码似乎有问题,因为根据其他引用,正确的递推公式应该是f(n) = f(n-1) + f(n-2),但引用[1]中的代码返回的是2倍,这可能是个错误。我需要确认这一点。 首先,问题描述:上n级台阶,每次可以1级或2级,求总共有多少种法。根据动态规划,这个问题的状态转移方程应该是f(n) = f(n-1) + f(n-2),初始条件f(1)=1,f(2)=2。这类似于斐波那契数列。 用户提供的引用[1]中的代码使用递归,但返回的是2 * climbStairs(n-1),这明显不符合正确的递推关系。这可能是一个错误的示例,需要指出。正确的递归应该是返回climbStairs(n-1) + climbStairs(n-2),但递归方法效率低,因为重复计算多。因此,动态规划方法可以通过存储中间结果来优化。 接下来,我需要根据正确的动态规划思路来给出算法实现。通常有两种方法:自顶向下的记忆化递归和自底向上的迭代。由于用户可能更关注算法实现,应该提供迭代方法,因为它更高效,时间复杂度O(n),空间复杂度可以优化到O(1)。 然后,我需要检查用户提供的引用内容,确保正确引用。例如,引用[2]和[5]正确描述了递推公式,而引用[1]的代码存在问题。在回答中需要指出这个问题,并给出正确的实现。 最后,生成相关问题时要围绕动态规划的应用、优化、变体等方面提问,确保问题相关且有价值。</think>### 台阶动态规划算法实现 #### 一、问题分析 台阶问题的核心是计算到达第$n$级台阶的方案数,每次可选择1级或2级。动态规划解法通过递推关系实现高效计算,递推公式为: $$f(n) = f(n-1) + f(n-2)$$ 初始条件为: $$f(1)=1,\ f(2)=2$$ #### 二、错误代码修正 引用[1]中的代码存在逻辑错误,其递推公式应为加法而非乘法。正确逻辑应与斐波那契数列类似[^2][^5]。 #### 三、动态规划实现 ##### 1. 基础版本(空间复杂度$O(n)$) ```python def climbStairs(n): if n <= 2: return n dp = [0] * (n+1) dp[1], dp[2] = 1, 2 for i in range(3, n+1): dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] return dp[n] ``` ##### 2. 优化版本(空间复杂度$O(1)$) ```python def climbStairs(n): if n <= 2: return n a, b = 1, 2 for _ in range(3, n+1): a, b = b, a + b return b ``` #### 四、复杂度分析 1. 时间复杂度:$O(n)$ 循环次数与台阶数成线性关系 2. 空间复杂度: - 基础版:$O(n)$ - 优化版:$O(1)$
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