PAT A1049 Counting Ones （30 分)

题目

1049 Counting Ones （30 分)

题意

求 $1\sim N$ 中 $1$ 的个数

分析

设数字 $N$ 共 $k$ 位，第 $i$ 位为数字 $b$ 。其前面组成数字 $a$ ，后面组成数字 $c$。
$\stackrel{a}{\overbrace{n_{k-1}{n}_{k-2}\dots n_{i+2}{n}_{i+1}}}\stackrel{b}{n_i}\underset{c}{\underbrace{n_{i-1}{n}_{i-2}\dots n_1{n}_0}}$
因为 $n_i$ 的情况有3种：

1. $b>1$ ,则 $b$ 前面数字的范围可以是 $(0,a)$ 共 $a+1$ 个，由于 $b>1$ 则 $b$ 之后的数字随意，选取范围为 $(0,10^i-1)$,总共 $(a+1)\times 10^i$ 种。
2. $b=1$ ，前面的范围比 $case1$ 少一种，因为前面的数为 $a$ 时后面的数只有 $(0,c)$ 满足 $b=1$,总共 $a\times 10^i+c+1$种。
3. $b=0$,比 $case1$ 前面范围完全少一种，故 $a\times 10^i$ 种。

则 $i$ 位为 $1$ 的个数为 $$f(i)=\{\begin{array}{ll}(a+1)\times 10^i,& b>1;\\ a\times 10^i+c+1,& b=1;\\ a\times 10^i,& b=0.\end{array}$$
累加即可

初次提交代码

#include<cstdio>
#include<cmath>
#pragma warning(disable:4996)

int main() {
	int a, b, c = 0, ans = 0;
	scanf("%d", &a);
	for (int i = 0; a; i++) {//a为0退出
		b = a % 10;
		a /= 10;
		if       (b > 1) ans += (a + 1) * pow(10, i);
		else if  (b < 1) ans += a * pow(10, i);
		else     ans += a * pow(10, i) + c + 1;
		c += b * pow(10, i);
	}
	printf("%d\n", ans);
	return 0;
}

运行结果

2019/4/24 16:13:33 答案正确 30 1049 C++ (g++) 3 ms
测试点 结果 耗时 内存
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改进¹

可以改用变量 k 来代替 pow(10,i) 同时可节省 i 的变量空间，for 改为 while。

#include<cstdio>
#pragma warning(disable:4996)

int main() {
	int n,a, b, c, k = 1, ans = 0;
	scanf("%d", &n);
	while (n / k != 0) {
		a = n / (k * 10);
		b = n / k % 10;
		c = n % k;
		if (b > 1)      ans += (a + 1) * k;
		else if (b < 1) ans += a * k;
		else            ans += a * k + c + 1;
		k *= 10;
	}
	printf("%d\n", ans);
	return 0;
}

---

1. 《算法笔记》P198-200. ↩︎