PAT-A-1049 Counting Ones (30 分) 数位DP C++题解

最新推荐文章于 2020-07-06 14:57:34 发布

爱玲姐姐

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分类专栏：题解 PAT 动态规划文章标签： PAT-A 数位DP

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/jal517486222/article/details/100029690

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博客介绍了PAT-A-1049 Counting Ones问题，通过数位动态规划（DP）方法解决。文章详细阐述了题目要求，即计算1到n数字中1的总数，并提供了递归枚举与记忆化存储的解题思路。作者分享了AC代码，强调使用64位整数避免溢出，以及利用记忆化存储加速递归过程。

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1049 Counting Ones (30 分)

题目传送门：1049 Counting Ones (30 分)

一看到这道题就知道考的是数位DP，倔强的我不想找模板~~，自己写才有成就感。昨晚临睡觉前开始写的，今天早起继续写，居然一交就AC了，呵呵,开心????

一、题目大意

给定一个正整数n，求1到n的数字中，所有数含1的数量。
Sample：
12
5
赠送样例：
123
57

二、解题思路

递归枚举每一位+记忆化存储

例如n=123，将n存到vector<int>v中，v={1, 2, 3}，从高位开始枚举，最高位下标pos=0，小于等于n的数字中，最高位的值i可以取0、1，也就是可以取[0, v[pos]]，而当i==v[pos]，它的下一位pos只能取[0, v[pos+1]]， i!=v[pos]的话，下一位pos可以取[0, 9]。两者上限的不同是由于当前位的值i是否等于v[pos]引起的，当i==v[pos]时，当前位已经达到了这个位的上限，使下一位pos+1位最多取到n中pos+1位的值，也就是下一位最多可以取[0, v[pos+1]]，如果超过v[pos+1]，则数会超过n，不符合要求。当i!=v[pos]时，说明当前位的值并没有达到该位的上限，下一位则可以任意取[0, 9]中的数字。

注意点：

使用64位整数，32位会爆。
使用记忆化存储，加快递归搜索的速度。定义一个三维数组：dp[pos][val][limit]，存储当前位为pos, 值为val， limit表示当前位是否受限。当遍历到pos, val, limit的时候，先看dp数组中是否已经存在该值，如果不存在则进行dfs递归搜索遍历，遍历完计算出结果后，存入到dp中记下来，供下一次使用。如果存在dp值，则直接返回该dp值。
如果当前位的值为1，则需要累加这位为1时多产生的1的数量，如果不受限，则加pow(10, v.size() - pos - 1)，如果受限则加当前位后面所有数字构成的整数。

三、AC代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = unsigned long long;
int n;
vector<int>v;
void init(){
   
	while(n){
   
		v.push_back

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