希尔伯特变换Hilbert Transform

最新推荐文章于 2025-07-24 10:08:34 发布

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#希尔伯特变换

希尔伯特变换公式：

$x^(t)=H[x(t)]=x(t)∗1πt\hat x(t)=\mathcal{H}[x(t)]=x(t)*\frac{1}{\pi t}$
也就是说，信号的希尔伯特变换就是把它经过一个冲激响应 $h(t)=1πth(t)=\frac{1}{\pi t}$ 的LTI线性时不变系统得到的输出，此系统的频率响应：
$−j,w>0j,w<0H(jw)=-jsgn(w)=\left\{ \begin{aligned} -j,w>0\\ j,w<0 \end{aligned} \right.$

so,显然，如下图，它的幅频特性全为1，是一个全通滤波器。
而对于相位，对于正频，它相移 $−π2-\frac \pi 2$ ,( $e−jπ2=−je^{-j\frac \pi 2}=-j$ )；
对于负频率部分，相移 $π2\frac \pi 2$ 。
在这里插入图片描述
画图代码：

clear all,clc;
w=-2*pi:0.01:2*pi;
i=sqrt(-1);
h=-i*sign(w);
figure,
subplot(211)
plot(w,abs(h));
axis([-2*pi 2*pi 0 2])
xlabel('w'),ylabel('|H(jw)|'),title('Hilbert滤波器的幅频响应'),grid on
subplot(212)
plot(w,angle(h));
axis([-2*pi 2*pi -pi pi])
xlabel('w'),ylabel('\psi(w)'),title('Hilbert滤波器的相频响应'),grid on

对比无失真系统的频率响应，可知这个系统是有失真的，会通过相移引入新的频率成分。

无失真系统的输入输出关系必须是 $r (t) = K s (t - t 0)$ ,其中 $s (t ）$ 是输入， $r (t)$ 是输出，无失真即只能对输入有时延和幅度缩放，根据傅里叶变换求得系统响应 $H(jw)=Ke^{-jwt_0}$

在这里插入图片描述
画图代码：

clear all,clc;
w=-2*pi:0.01:2*pi;
j=sqrt(-1);K=1;t0=1;
H=K*exp(-j*w*t0);
subplot(211)
plot(w,abs(H));
axis([-2*pi 2*pi 0 2])
xlabel('w'),ylabel('|H(jw)|'),title('无失真传输系统的幅频响应 K=1;t0=1;'),grid on
subplot(212)
plot(w,angle(H));
axis([-pi pi -pi pi])
xlabel('w'),ylabel('\psi(w)'),title('无失真传输系统的相频响应 K=1;t0=1;'),grid on