傅里叶变换与希尔伯特变换

1.   傅里叶变换

1.1傅里叶变换

对周期信号进行傅里叶变换（包括正弦周期和非正弦周期信号，正弦周期实际上利用正交性可以知道，除了对应的频率，其他谐波的积分都是0），可以将信号分解为一个无穷级数的和：

其中T为原周期信号的频率，因此，整个傅里叶变换将原信号分解为包括原周期在内的无数个谐波分量的三角集数和。

对于非周期信号，实际上，非周期信号可以被理解为周期为无限短的周期信号，因此，级数和也自然变成了积分：

即傅里叶变换从离散变成了连续的普函数。

1.2傅里叶变换的几个概念

对于傅里叶变换，有几点是非常有意思的，首先，它是由时域信号来的，那么信号进行傅里叶变换之后“时间”去哪儿了呢？其次，仔细观察傅里叶变换，它实际上出现了负频率，那么如何理解负频率呢？

（1）  时间

首先，我们要认识到傅里叶级数可以看做是一种对信号的拟合，其频谱上的每一个点都可以看作是一个频率固定，而时间从负无穷到正无穷的时域信号，而被分析的信号是这无穷个信号的和。

（2）  负频率

关于负频率，目前的理解有两个，第一个是没有实际意义，可以看到，对信号进行傅里叶变换之后信号从实数域被转换到了复数域，而之所以会出现负频率，正是为了消除信号的虚部，实际上，傅里叶级数展开后，负频率对实部与对应正频率相同，而虚部相反从而消除虚部，从这个意义上来说，负频率没有实际的物理意义而纯粹是数学处理，另一个看法是负频率也可以存在，他可以理解为信号在复平面上的正转与反转，而负频率对应的正式反转，我个人更支持第一种观点，所以就不再对第二种观点展开介绍。