hdu 1590(Recursive sequence)矩阵快速幂

本文介绍了一种使用矩阵快速幂解决特定数学问题的方法,并通过一个示例程序详细展示了如何实现矩阵乘法及快速幂运算。

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第一次做快速幂的题目,题目很简单,就当做个笔记,题解就难得写了~~~

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL fast_mi[7][7]={
{1,4,6,4,1,0,0},
{0,1,3,3,1,0,0},
{0,0,1,2,1,0,0},
{0,0,0,1,1,0,0},
{0,0,0,0,1,0,0},
{0,0,0,0,0,0,1},
{1,4,6,4,1,2,1}
};
struct Martix
{
    const static int SIZE=7;
    const static LL MOD=2147493647;
    LL m[SIZE][SIZE];
    Martix() {memset(m,0,sizeof(m));}
    Martix(const Martix& r) {memcpy(m,r.m,sizeof(r.m));}
    Martix(const int);
    Martix(const LL (*p)[SIZE]);
    Martix operator*(const Martix&)const;
    Martix fast_pow(int n)const;
};
Martix::Martix(const int r)
{
    memset(m,0,sizeof(m));
    for(int i=0;i<SIZE;i++)
        m[i][i]=r;
}
Martix::Martix(const LL (*p)[SIZE])
{
    for(int i=0;i<SIZE;i++)
        for(int j=0;j<SIZE;j++)
            m[i][j]=p[i][j];
}
Martix Martix::operator*(const Martix& r)const
{
    Martix ret;
    for(int i=0;i<SIZE;i++)
        for(int j=0;j<SIZE;j++)
            for(int k=0;k<SIZE;k++)
                ret.m[i][j]=(ret.m[i][j]+m[i][k]*r.m[k][j])%MOD;
    return ret;
}
Martix Martix::fast_pow(int n)const
{
    Martix ret(1),t(*this);
    int m=n;
    while(m)
    {
        if(m&1) ret=ret*t;
        t=t*t;
        m>>=1;
    }
    return ret;
}
int main()
{
    const Martix sub(fast_mi);
    const LL MOD=2147493647;
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        int n,a,b;
        scanf("%d%d%d",&n,&a,&b);
        const int seq[]={16,8,4,2,1,a,b};
        Martix ret=sub.fast_pow(n-2);
        LL ans=0;
        for(int i=0;i<7;i++)
            ans=(ans+ret.m[6][i]*seq[i])%MOD;
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}


### HDU 2544 题目分析 HDU 2544 是关于最短路径的经典问题,可以通过多种方法解决,其中包括基于邻接矩阵的 Floyd-Warshall 算法。以下是针对该问题的具体解答。 --- #### 基于邻接矩阵的 Floyd-Warshall 实现 Floyd-Warshall 算法是一种动态规划算法,适用于计算任意两点之间的最短路径。它的时间复杂度为 \( O(V^3) \),其中 \( V \) 表示节点的数量。对于本题中的数据规模 (\( N \leq 100 \)),此算法完全适用。 下面是具体的实现方式: ```cpp #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; const int INF = 0x3f3f3f3f; int dist[105][105]; int n, m; void floyd() { for (int k = 1; k <= n; ++k) { // 中间节点 for (int i = 1; i <= n; ++i) { // 起始节点 for (int j = 1; j <= n; ++j) { // 结束节点 if (dist[i][k] != INF && dist[k][j] != INF) { dist[i][j] = min(dist[i][j], dist[i][k] + dist[k][j]); } } } } } int main() { while (cin >> n >> m && (n || m)) { // 初始化邻接矩阵 for (int i = 1; i <= n; ++i) { for (int j = 1; j <= n; ++j) { if (i == j) dist[i][j] = 0; else dist[i][j] = INF; } } // 输入边的信息并更新邻接矩阵 for (int i = 0; i < m; ++i) { int u, v, w; cin >> u >> v >> w; dist[u][v] = min(dist[u][v], w); dist[v][u] = min(dist[v][u], w); // 如果是有向图,则去掉这一行 } // 执行 Floyd-Warshall 算法 floyd(); // 输出起点到终点的最短距离 cout << (dist[1][n] >= INF ? -1 : dist[1][n]) << endl; } return 0; } ``` --- #### 关键点解析 1. **邻接矩阵初始化** 使用二维数组 `dist` 存储每一对节点间的最小距离。初始状态下,设所有节点对的距离为无穷大 (`INF`),而同一节点自身的距离为零[^4]。 2. **输入处理** 对于每条边 `(u, v)` 和权重 `w`,将其存储至邻接矩阵中,并取较小值以防止重边的影响[^4]。 3. **核心逻辑** Floyd-Warshall 的核心在于三重循环:依次尝试通过中间节点优化其他两节点间的距离关系。具体而言,若从节点 \( i \) 到 \( j \) 可经由 \( k \) 达成更优解,则更新对应位置的值[^4]。 4. **边界条件** 若最终得到的结果仍为无穷大(即无法连通),则返回 `-1`;否则输出实际距离[^4]。 --- #### 性能评估 由于题目限定 \( N \leq 100 \),因此 \( O(N^3) \) 的时间复杂度完全可以接受。此外,空间需求也较低,适合此类场景下的应用。 ---
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