hdu6030 （矩阵快速幂）

最新推荐文章于 2025-09-21 17:57:55 发布

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本文通过一个具体的编程实例，展示了如何利用线性代数中的矩阵运算解决递推序列的问题。通过构建特定的矩阵，可以有效地计算出递推序列的第n项值，避免了传统递归方法可能导致的效率低下问题。

这道题让我深深感到了线性代数的重要性啊，递推关系式不是随便搞搞就能出来的！

如果用a表示红色，用b表示蓝色。题意明显可以看出只需要管长度2和3的连续序列是否符合！

如果以b结尾，那么下一个必须是a，或者加个aab就可以了！

所以就是a[n]=a[n-1]+a[n-3];出现了n-3应该就是三维矩阵了！

矩阵要是从a【n-1】推导到a【n】,那么令a【n-1】为第一维，

a[n]=a[n-1]+1[n-3],a[n-1]=a[n-1],a[n-2]=a[n-2];

得到矩阵

1 1 0

0 0 1

1 0 0

，有了矩阵就随便搞搞啊，看有没有初始矩阵啥的，特例啥的，这个很简单推的。

2是特例，初始矩阵是

4 3 2

0 0 0

下面具体看代码

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
#include<math.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<queue>
#include<vector>
#include<set>
#include<map>
#include<string>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const ll mod = 1e9 + 7;

struct matrix
{
    ll a[4][4];
    matrix(){
    memset(a,0,sizeof(a));
    }
};
matrix multi(matrix b,matrix a)
{
    matrix c;
    for(int i=1;i<=3;i++){
        for(int j=1;j<=3;j++){
            if(a.a[i][j]==0) continue;
          for(int k=1;k<=3;k++){
            c.a[i][k] = (c.a[i][k] + a.a[i][j] * b.a[j][k]) % mod;
          }
        }
    }
    return c;
}
matrix pow_matrix(matrix a,ll n)
{
    matrix b;
    b.a[1][3] = b.a[2][1] = b.a[2][2]= b.a[3][2] = 1;
    while(n){
        if(n&1) a = multi(b,a);
        b = multi(b,b);
        n>>=1;
    }
    return a;
}
int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        ll n;
        scanf("%lld",&n);
        if(n==2) printf("3\n");
        else{
            matrix ans;
            ans.a[1][1] = ans.a[1][2] = ans.a[1][3] = 1;
            ans = pow_matrix(ans,n-2);
            printf("%lld\n",(ans.a[1][1]+ans.a[1][2]+ans.a[1][3])%mod);
        }
    }
}