hdu 6030 (矩阵快速幂)

探讨在一串珠子中,如何确保任意素数区间内的红色珠子数量超过蓝色珠子的问题。通过分析2和3区间的特性,利用递推公式F(x)=F(x-1)+F(x-3),并结合矩阵快速幂的方法高效求解。

题意:给你一串珠子,要求任意素数区间段内红色大于蓝色,问有多少种方案。

赛后补题……
我们首先可以发现只要考虑2和3就可以了,因为其他任意区间都可以拆成2和3的组合,所以只要2和3满足就一定可以。
然后我们写一下就可以发现规律,如果新加一颗红色,那只要之前的满足就一定可以满足,如果新加一颗蓝色,只有红红蓝这种情况下才可以,所以就有递推式F(x)=F(x-1)+F(x-3)
2 3 4对应的情况我们可以先手动求出,
然后通过矩阵快速幂就可以求解。
因为ll贡献了一发WA……

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <queue>
#include <vector>
using namespace std;

typedef long long ll;
typedef vector<ll> vec;
typedef vector<vec> mat;
const int mod=1e9+7;

//计算A*B
mat mul(mat &A , mat &B)
{
    mat C(A.size(),vec(B[0].size()));
    for(int i=0;i<A.size();i++)
        for(int k=0;k<B.size();k++)
        for(int j=0;j<B[0].size();j++)
            C[i][j]=(C[i][j]+A[i][k]*B[k][j])%mod;
    return C;
}

//计算A^n

mat pow(mat A,ll n)
{
    mat B(A.size(),vec(A.size()));
    for(int i=0;i<A.size();i++)
        B[i][i]=1;
    while(n>0)
    {
        if(n&1)B=mul(B,A);
        A=mul(A,A);
        n>>=1;
    }
    return B;
}
void print(mat A)
{
    for(int i=0;i<A.size();i++)
    {
        for(int j=0;j<A[0].size();j++)
            printf("%d ",A[i][j]);
        printf("\n");
    }
}

ll n;
int ans[3]={3,4,6};
void solve ()
{
    mat A(3,vec(3));
    A[0][0]=1;A[0][1]=0;A[0][2]=1;
    A[1][0]=1;A[1][1]=0;A[1][2]=0;
    A[2][0]=0;A[2][1]=1;A[2][2]=0;
    A=pow(A,n-4);
  //  print(A);
    if(n>4)
    printf("%d\n",(A[0][0]*6+A[0][1]*4+A[0][2]*3)%mod);
    else {
        printf("%d\n",ans[n-2]);
    }
}
int main()
{
    int t;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        cin>>n;
        solve();
    }
    return 0;
}
### HDU 2544 题目分析 HDU 2544 是关于最短路径的经典问题,可以通过多种方法解决,其中包括基于邻接矩阵的 Floyd-Warshall 算法。以下是针对该问题的具体解答。 --- #### 基于邻接矩阵的 Floyd-Warshall 实现 Floyd-Warshall 算法是一种动态规划算法,适用于计算任意两点之间的最短路径。它的时间复杂度为 \( O(V^3) \),其中 \( V \) 表示节点的数量。对于本题中的数据规模 (\( N \leq 100 \)),此算法完全适用。 下面是具体的实现方式: ```cpp #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; const int INF = 0x3f3f3f3f; int dist[105][105]; int n, m; void floyd() { for (int k = 1; k <= n; ++k) { // 中间节点 for (int i = 1; i <= n; ++i) { // 起始节点 for (int j = 1; j <= n; ++j) { // 结束节点 if (dist[i][k] != INF && dist[k][j] != INF) { dist[i][j] = min(dist[i][j], dist[i][k] + dist[k][j]); } } } } } int main() { while (cin >> n >> m && (n || m)) { // 初始化邻接矩阵 for (int i = 1; i <= n; ++i) { for (int j = 1; j <= n; ++j) { if (i == j) dist[i][j] = 0; else dist[i][j] = INF; } } // 输入边的信息并更新邻接矩阵 for (int i = 0; i < m; ++i) { int u, v, w; cin >> u >> v >> w; dist[u][v] = min(dist[u][v], w); dist[v][u] = min(dist[v][u], w); // 如果是有向图,则去掉这一行 } // 执行 Floyd-Warshall 算法 floyd(); // 输出起点到终点的最短距离 cout << (dist[1][n] >= INF ? -1 : dist[1][n]) << endl; } return 0; } ``` --- #### 关键点解析 1. **邻接矩阵初始化** 使用二维数组 `dist` 存储每一对节点间的最小距离。初始状态下,设所有节点对的距离为无穷大 (`INF`),而同一节点自身的距离为零[^4]。 2. **输入处理** 对于每条边 `(u, v)` 和权重 `w`,将其存储至邻接矩阵中,并取较小值以防止重边的影响[^4]。 3. **核心逻辑** Floyd-Warshall 的核心在于三重循环:依次尝试通过中间节点优化其他两节点间的距离关系。具体而言,若从节点 \( i \) 到 \( j \) 可经由 \( k \) 达成更优解,则更新对应位置的值[^4]。 4. **边界条件** 若最终得到的结果仍为无穷大(即无法连通),则返回 `-1`;否则输出实际距离[^4]。 --- #### 性能评估 由于题目限定 \( N \leq 100 \),因此 \( O(N^3) \) 的时间复杂度完全可以接受。此外,空间需求也较低,适合此类场景下的应用。 ---
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