hdu 2276(矩阵快速幂)

快速幂解决圆环灯光状态转换问题
本文探讨了一个关于圆环中灯光状态转换的问题,使用快速幂算法解决时间复杂度较高情况下的效率问题。详细介绍了如何通过字符串表示初始状态,并通过数学运算推导出M秒后各灯的状态。

Kiki & Little Kiki 2

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Total Submission(s): 2301    Accepted Submission(s): 1176


Problem Description
There are n lights in a circle numbered from 1 to n. The left of light 1 is light n, and the left of light k (1< k<= n) is the light k-1.At time of 0, some of them turn on, and others turn off. 
Change the state of light i (if it's on, turn off it; if it is not on, turn on it) at t+1 second (t >= 0), if the left of light i is on !!! Given the initiation state, please find all lights’ state after M second. (2<= n <= 100, 1<= M<= 10^8)

 

Input
The input contains one or more data sets. The first line of each data set is an integer m indicate the time, the second line will be a string T, only contains '0' and '1' , and its length n will not exceed 100. It means all lights in the circle from 1 to n.
If the ith character of T is '1', it means the light i is on, otherwise the light is off.

 

Output
For each data set, output all lights' state at m seconds in one line. It only contains character '0' and '1.
 

Sample Input

  
1 0101111 10 100000001
 

Sample Output

  
1111000 001000010
 

Source
 

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/*
  能够把转换关系找出来的话,这题就是个比较裸的快速幂了
  用a[i]*代表上一层的a[i],通过推样例会发现如下规律:
  a[i]=(a[i]*+a[i-1]*)%2,其中a[1]=(a[1]*a[n]*)%2
  
  第一次敲快速幂,存做模板

*/
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
#include <queue>
#include <map>
#include <stack>
#include <set>
#include <cmath>
#include <vector>
#include<cstdlib>
#define INF 1<<30
#pragma comment (linker,"/STACK:102400000,102400000")
using namespace std;
#define maxn 150
#define moo 2
char s[maxn];
int n,m;
struct Mat
{
    int a[maxn][maxn];
};
Mat res1;
Mat muti(Mat a,Mat b)
{
    Mat res;
    memset(res.a,0,sizeof(res.a));
    for(int i=0;i<n;i++)
    for(int j=0;j<n;j++)
    {
       for(int k=0;k<n;k++)
            res.a[i][j]=(res.a[i][j] + a.a[i][k]*b.a[k][j])%moo;
    }
    return res;
}
Mat pow(Mat res,int m)
{
    Mat ss;
    memset(ss.a,0,sizeof(ss.a));
    for(int i=0;i<n;i++)
        ss.a[i][i]=1;
    while(m)
    {
        if(m%2)
        ss=muti(ss,res);
        res=muti(res,res);
        m/=2;
    }
    return ss;
}
int main()
{
    int ans[maxn];
    Mat oo;
    while(~scanf("%d",&m))
    {
        scanf("%s",s);
        n=strlen(s);
        for(int i=0;i<n;i++)
        ans[i]=s[i]-'0';
        int ant[maxn];
        memset(ant,0,sizeof(ant));
        memset(res1.a,0,sizeof(res1.a));

        res1.a[0][0]=res1.a[n-1][0]=res1.a[n-1][n-1]=1;
        for(int i=0;i<n-1;i++)
            res1.a[i][i]=res1.a[i][i+1]=1;
        oo=pow(res1,m);

        for(int j=0;j<n;j++)
            for(int i=0;i<n;i++)
            ant[j]=(ant[j]+ans[i]*oo.a[i][j])%moo;
            for(int i=0;i<n;i++)
                cout<<ant[i];
            cout<<endl;
    }
    return 0;
}



转载于:https://www.cnblogs.com/zhanpang/p/5682882.html

### HDU 2544 题目分析 HDU 2544 是关于最短路径的经典问题,可以通过多种方法解决,其中包括基于邻接矩阵的 Floyd-Warshall 算法。以下是针对该问题的具体解答。 --- #### 基于邻接矩阵的 Floyd-Warshall 实现 Floyd-Warshall 算法是一种动态规划算法,适用于计算任意两点之间的最短路径。它的时间复杂度为 \( O(V^3) \),其中 \( V \) 表示节点的数量。对于本题中的数据规模 (\( N \leq 100 \)),此算法完全适用。 下面是具体的实现方式: ```cpp #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; const int INF = 0x3f3f3f3f; int dist[105][105]; int n, m; void floyd() { for (int k = 1; k <= n; ++k) { // 中间节点 for (int i = 1; i <= n; ++i) { // 起始节点 for (int j = 1; j <= n; ++j) { // 结束节点 if (dist[i][k] != INF && dist[k][j] != INF) { dist[i][j] = min(dist[i][j], dist[i][k] + dist[k][j]); } } } } } int main() { while (cin >> n >> m && (n || m)) { // 初始化邻接矩阵 for (int i = 1; i <= n; ++i) { for (int j = 1; j <= n; ++j) { if (i == j) dist[i][j] = 0; else dist[i][j] = INF; } } // 输入边的信息并更新邻接矩阵 for (int i = 0; i < m; ++i) { int u, v, w; cin >> u >> v >> w; dist[u][v] = min(dist[u][v], w); dist[v][u] = min(dist[v][u], w); // 如果是有向图,则去掉这一行 } // 执行 Floyd-Warshall 算法 floyd(); // 输出起点到终点的最短距离 cout << (dist[1][n] >= INF ? -1 : dist[1][n]) << endl; } return 0; } ``` --- #### 关键点解析 1. **邻接矩阵初始化** 使用二维数组 `dist` 存储每一对节点间的最小距离。初始状态下,设所有节点对的距离为无穷大 (`INF`),而同一节点自身的距离为零[^4]。 2. **输入处理** 对于每条边 `(u, v)` 和权重 `w`,将其存储至邻接矩阵中,并取较小值以防止重边的影响[^4]。 3. **核心逻辑** Floyd-Warshall 的核心在于三重循环:依次尝试通过中间节点优化其他两节点间的距离关系。具体而言,若从节点 \( i \) 到 \( j \) 可经由 \( k \) 达成更优解,则更新对应位置的值[^4]。 4. **边界条件** 若最终得到的结果仍为无穷大(即无法连通),则返回 `-1`;否则输出实际距离[^4]。 --- #### 性能评估 由于题目限定 \( N \leq 100 \),因此 \( O(N^3) \) 的时间复杂度完全可以接受。此外,空间需求也较低,适合此类场景下的应用。 ---
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