luoguP1044栈

题目背景

栈是计算机中经典的数据结构，简单的说，栈就是限制在一端进行插入删除操作的线性表。

栈有两种最重要的操作，即pop（从栈顶弹出一个元素）和push（将一个元素进栈）。

栈的重要性不言自明，任何一门数据结构的课程都会介绍栈。宁宁同学在复习栈的基本概念时，想到了一个书上没有讲过的问题，而他自己无法给出答案，所以需要你的帮忙。

题目描述

宁宁考虑的是这样一个问题：一个操作数序列，从1，2，一直到n（图示为1到3的情况），栈A的深度大于n。

现在可以进行两种操作，

1.将一个数，从操作数序列的头端移到栈的头端（对应数据结构栈的push操作）

2. 将一个数，从栈的头端移到输出序列的尾端（对应数据结构栈的pop操作）

使用这两种操作，由一个操作数序列就可以得到一系列的输出序列，下图所示为由1 2 3生成序列2 3 1的过程。

（原始状态如上图所示）

你的程序将对给定的n，计算并输出由操作数序列1，2，…，n经过操作可能得到的输出序列的总数。

输入输出格式

输入格式：

输入文件只含一个整数n（1≤n≤18）

输出格式：

输出文件只有一行，即可能输出序列的总数目

输入输出样例

输入样例#1：复制

3

输出样例#1：复制

5

 

分析
n个数依次进栈，可随机出栈。求有几种可能。
解释一下原理：
f[i]表示i个数的全部可能性。
f[0] = 1, f[1] = 1; （当然只有一个）
设 x 为当前出栈序列的最后一个，则x有n种取值
由于x是最后一个出栈的，所以可以将已经出栈的数分成两部分
比x 小  和  比x大
比x小的数有x-1个，所以这些数的全部出栈可能为f[x-1]
比x大的数有n-x个，所以这些数的全部出栈可能为f[n-x]
这两部分互相影响，所以一个x的取值能够得到的所有可能性为f[x-1] * f[n-x]
另外，由于x有n个取值，所以
ans = f[0]*f[n-1] + f[1]*f[n-2] + ... + f[n-1]*f[0];
这，就是传说中的卡特兰数

附上代码： 
#include<iostream>
using namespace std;
long n,f[20][20];//f数组记录方案
long dfs(int x,int y)//x是操作队列里元素的个数，y是栈里的个数
{
    if(f[x][y]!=0) return f[x][y];//记忆化，走过的方案直接调用
    if(x==0) return 1;//当操作队列里没有了，就只有一种方案了
    if(y>0) f[x][y]+=dfs(x,y-1);//栈里不为空的时候才可以把栈里的元素推出
    f[x][y]+=dfs(x-1,y+1);//操作队列里元素减一，栈里元素加一
    return f[x][y];//返回方案值
}
int main()
{
    cin>>n;
    cout<<dfs(n,0)<<endl;
    return 0;
}
另一种写法是dfs（记忆化搜索） 
附上代码: 
#include<cstdio
using namespace std;
long n,f[20][20];//f数组记录方案
long dfs(int x,int y)//x是操作队列里元素的个数，y是栈里的个数{
    if(f[x][y]!=0) return f[x][y];//记忆化，走过的方案直接调用
    if(x==0) return 1;//当操作队列里没有了，就只有一种方案了
    if(y>0) f[x][y]+=dfs(x,y-1);//栈里不为空的时候才可以把栈里的元素推出
    f[x][y]+=dfs(x-1,y+1);//操作队列里元素减一，栈里元素加一
    return f[x][y];//返回方案值
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    printf("%d",dfs(n,0));
    return 0;
}