LOJ #10202. 「一本通 6.2 练习 5」樱花

最新推荐文章于 2023-11-21 12:28:31 发布

罪_蒟蒻PDD

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分类专栏：数论

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这篇博客探讨了LOJ #10202题目的解决方案，涉及一个不定方程 1/x + 1/y = 1/n 的正整数解。通过化简和巧妙地设x=n+a, y=n+b，将问题转换为求解n²的约数个数问题。" 115827923,10539873,MATLAB图片处理：读取与显示图像,"['MATLAB', '图像处理', '数据导入', '绘图', '数字图像处理']

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目链接
求不定方程：给定n，1/x + 1/y = 1/n 的正整数解数

基本的思路
首先化简可得
(x+y)/x∗y=1/n
关键一步
令 x=n+a y=n+b
这一步相当关键，整个题目的精髓所在。
因为x和y和n都是正整数，要想等式成立，x和y作为分母肯定都要大于n，不然等式成立不了
代入原公式化简得代入原公式化简得
n^2=ab
然后就等价于求解n^2的约数个数了

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
const int N=1e6+7;
long long c[N],ans=1;
int n,isprime[N],prime[N];
void divide(int x){
    for(int i=1;prime[i]*prime[i]<=x;i++){
        while(x%prime[i]==0){
            x/=prime[i];
			c[prime[i]]++;
		}
    }
    if(x!=1)c[x]++;
}
int main(){
    cin>>n;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!isprime[i])prime[++prime[0]]=i;
        for(int j=1;j<=prime[0]&&i*prime[j]<n; ++j){
            isprime[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0)break;
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)divide(i);                    
    for(int i=1;i<=prime[0];i++)
        ans=(ans*(c[prime[i]]<<1|1))%mod;
    cout<<ans<<endl;         
    return 0;
}