栈

背景

    栈是计算机中经典的数据结构，简单的说，栈就是限制在一端进行插入删除操作的线性表。栈有两种最重要的操作，即pop（从栈顶弹出一个元素）和push（将一个元素进栈）。
    栈的重要性不言自明，任何一门数据结构的课程都会介绍栈。宁宁同学在复习栈的基本概念时，想到了一个书上没有讲过的问题，而他自己无法给出答案，所以需要你的帮忙。

描述

    宁宁考虑的是这样一个问题：一个操作数序列，从1，2，一直到n（图示为1到3的情况），栈A的深度大于n。
    现在可以进行两种操作，
    1、将一个数，从操作数序列的头端移到栈的头端（对应数据结构栈的push操作）
    2、将一个数，从栈的头端移到输出序列的尾端（对应数据结构栈的pop操作）
    使用这两种操作，由一个操作数序列就可以得到一系列的输出序列，下图所示为由1 2 3生成序列2 3 1的过程。（原始状态如上图所示）你的程序将对给定的n，计算并输出由操作数序列1，2，…，n经过操作可能得到的输出序列的总数。

输入格式

输入文件只含一个整数n（1≤n≤18）

输出格式

一个整数，即可能输出序列的总数目。

测试样例1

输入

3

输出

5

解法一:(卡特兰数)

原理：
　　令h(0)=1,h(1)＝1,catalan数满足递归式：
　　h(n)= h(0)*h(n-1) + h(1)*h(n-2) +  + h(n-1)h(0) (其中n>=2)
　　该递推关系的解为：
　　h(n)=C(2n,n)/(n + 1) (n=1,2,3,)
       另类递归式：  h(n)=((4*n-2)/(n+1))*h(n-1);
　　
　　前几项为 （OEIS中的数列A000108）: 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, 

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int e[20];
int main(){
	int n;
	cin >>n;
	e[0]=e[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		for(int j=0;j<i;j++){
			e[i]+=e[j]*e[i-j-1];
		}
	}
	cout<< e[n]<<endl;
	return 0;
}

解法二：（记忆化搜索）

//g_rem[a][b]表示中间有a个数，右边有b个数
//g_rem[a][b]=g_rem[a-1][b+1]+g_rem[a+1][b]; 判断越界
//if(a+b==n)  g_rem[a][b]=1;

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int g_n;
long int g_rem[19][19];
void input(){
	scanf("%d",&g_n);
}
void iniRem(){
	int i,j;
	for(i=0;i<=g_n;i++)
	for(j=0;j<=g_n;j++)
	g_rem[i][j]=-1;
}
long int search(int a,int b){
	if(a+b==g_n) return 1;
	if(a==-1) return 0;
	if(g_rem[a][b]!=-1)
	return g_rem[a][b];
	g_rem[a][b]=search(a-1,b+1)+search(a+1,b);
	//有两种状态可以到达a,b;
	return g_rem[a][b]; 
}
void outPut(long int maxn){
	printf("%ld\n",maxn);
}
int main(){
    input();
	iniRem();
	long int maxn=search(0,0);
	outPut(maxn);	
	return 0;
}