洛谷P1025 数的划分——递推、或递归、或dfs

题目：https://www.luogu.org/problem/P1025

方法一：递推

记d[i][j]为数i按要求分成j份的方案数。

则

1.1 i<j，则d[i][j]=0

1.2 i=j，则d[i][j]=1

1.3 i>j，则先拿出j个1平分，再把i-j按要求分成1，2，...，j份。从而

             d[i][j]=d[i-j][1]+d[i-j[2]+...+d[i-j][j-1]+d[i-j][j]

边界：d[i][1]=1，只分出1份，方案数自然是1。

打表进最外层循环为for(int j=2;j<=k;j++)，j要从2开始！

对于上面的1.3，进一步处理可得

              d[i][j]=d[i-1][j-1]+d[i-j][j]

这个式子有另一种解释：划分中有两类，一类是有1的，一类是没有1的，前者的方案数是d[i-1][j-1]，后者的方案数是d[i-j][j]。根据分类讨论的不重不漏，上述正确。

方法二：递归

实例：将7分成3份。

7=1+...//第一份为1的方案数为f[1][6][2]

  =2+...//第一份为2的方案数为f[2][5][2]

分析得到第一份不能大于2，如果大于2，比如是3，则后面的数不小于3，则3份的和至少为9。

上面引入f[m][n][k]，表示第一份不小于m，将n分成按要求的k份的方案数。可以得到，对于f[m][n][k]而言，它的第一份数不大于n/k，这是上界，且不小于m，这是它的下界。

方法三：dfs

上下界剪枝。第t份数不小于第t-1份数，且不大于余下数值/余下份数。具体见代码。

排队等效冗余。因为前k-1份数确定后，第k份数也随之而确定，从而dfs搜索树只用k-1层，不需要到k层，从而节省大量时间。

不排队冗余，耗时762ms。排队冗余后，耗时28ms。

AC代码一（递推）：

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
int d[201][7];
int main(){
    int n,k;
    cin>>n>>k;
    for(int i=1;i<=n;i++)d[i][1]=1;//只分成1份，当然方案数为1
    for(int i=1;i<=k;i++)d[i][i]=1;
        //分成i份，每份都是1，当然方案数为1
        //这一行不可缺少，否则，如d[3][3]=d[0][1..3]=0 
    for(int j=2;j<=k;j++)
        for(int i=j;i<=n;i++)//若i<j，则d[i][j]=0
            for(int t=1;t<=j;t++)
                d[i][j]+=d[i-j][t];
    cout<<d[n][k];
    return 0;
}

AC代码二（递推）：

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
int d[201][7];
int main(){
    int n,k;
    cin>>n>>k;
    for(int i=1;i<=n;i++)d[i][1]=1;//只分成1份，当然方案数为1
    for(int i=1;i<=k;i++)d[i][i]=1;
        //分成i份，每份都是1，当然方案数为1
        //这一行不可缺少，否则，如d[3][3]=d[0][1..3]=0 
    for(int j=2;j<=k;j++)
        for(int i=j;i<=n;i++)//若i<j，则d[i][j]=0
                d[i][j]=d[i-1][j-1]+d[i-j][j];
    cout<<d[n][k];
    return 0;
}

AC代码三（递归）：

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
int f(int t,int n,int k){
    if(k==1)return 1;
    int res=0;
    for(int i=t;i<=n-k+1&&i<=n/k;i++)//上下界 
        res+=f(i,n-i,k-1);
    return res;
}
int main(){
    int n,k;
    cin>>n>>k;
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n&&i<=n/k;i++)//上下界 
        ans+=f(i,n-i,k-1);//第一个参数表示第一份数值 
    cout<<ans;
    return 0;
}

AC代码四（dfs）：

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
int n,k;
int s[7],ans=0;
void dfs(int t){
    if(t==k){//排除等效冗余
        if(n>=s[t-1]) ans++;
        return;
    } 
/*
    if(t==k+1){
        if(n==0) ans++;
        return;
    } 
*/  
    for(int i=s[t-1];i<=n/(k-t+1);i++){
            //上下界剪枝 
        s[t]=i;
        n-=i;
        dfs(t+1);
        n+=i;
    }
}
int main(){
    cin>>n>>k;
    dfs(1);
    cout<<ans<<"\n";
    return 0;
}