随机变量的数字特征

本文深入探讨了数学期望与方差的概念,包括其在离散型与连续型随机变量中的计算公式,以及一系列重要的性质和应用。通过解析不同场景下的期望与方差计算,帮助读者理解这些统计量在概率论中的核心作用。

期望

离散型:
E(X)=∑k=1+∞xkpk E(X)=\sum_{k=1}^{+\infty}x_kp_k E(X)=k=1+xkpk
连续型:
E(X)=∫−∞+∞xf(x)dx E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx E(X)=+xf(x)dx

Y=g(X)Y=g(X)Y=g(X),其中ggg是连续函数,则
如果XXX是连续型:
E(X)=E[g(X)]=∑k=1+∞g(xk)pk E(X)=E[g(X)]=\sum_{k=1}^{+\infty}g(x_k)p_k E(X)=E[g(X)]=k=1+g(xk)pk
如果XXX是连续型:
E(X)=E(g(X))=∫−∞+∞g(x)f(x)dx E(X)=E(g(X))=\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)f(x)dx E(X)=E(g(X))=+g(x)f(x)dx

其余几个性质:

  • E(C)=CE(C)=CE(C)=C
  • E(CX)=CE(X)E(CX)=CE(X)E(CX)=CE(X)
  • E(X+Y)=E(X)+E(Y)E(X+Y)=E(X)+E(Y)E(X+Y)=E(X)+E(Y)
  • XXXYYY相互独立,则E(XY)=E(X)E(Y)E(XY)=E(X)E(Y)E(XY)=E(X)E(Y)

Z=g(X,Y)Z=g(X,Y)Z=g(X,Y),其中ggg连续,而且XXXYYY的概率密度是f(x,y)f(x,y)f(x,y),则有
E(Z)=E(g(X,Y))=∫−∞+∞∫−∞+∞g(x,y)f(x,y)dxdy E(Z)=E(g(X,Y))=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}g(x,y)f(x,y)dxdy E(Z)=E(g(X,Y))=++g(x,y)f(x,y)dxdy

方差

描述数据离散程度的量。
D(X)=Var(X)=E{[X−E(X)]2} D(X)=Var(X)=E\{[X-E(X)]^2\} D(X)=Var(X)=E{[XE(X)]2}

离散型:
D(X)=∑k=1+∞[xk−E(X)]pk D(X)=\sum_{k=1}^{+\infty}[x_k-E(X)]p_k D(X)=k=1+[xkE(X)]pk
连续型
D(X)=∫−∞+∞[x−E(X)]2f(x)dx D(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}[x-E(X)]^2f(x)dx D(X)=+[xE(X)]2f(x)dx
一般公式
D(X)=E(X2)−[E(X)]2 D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2 D(X)=E(X2)[E(X)]2

几个性质:

  • D(CX)=C2D(X)D(CX)=C^2D(X)D(CX)=C2D(X)
  • D(X+C)=D(X)D(X+C)=D(X)D(X+C)=D(X)
  • D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{[X−E(X)][Y−E(Y)]}D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E\{[X-E(X)][Y-E(Y)]\}D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{[XE(X)][YE(Y)]},若X、YX、YXY独立,则D(X+Y)=D(X)+D(Y)D(X+Y)=D(X)+D(Y)D(X+Y)=D(X)+D(Y)
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