概率论第四章-随机变量的数字特征

四 随机变量的数字特征

1.数学期望

离散型
$E(X)=\sum_{k=1}^{\infty}x_kp_k$
连续性
概率密度为 f(x)

$$E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)d_x$$
若X=g(x),则把上面二式x换为g(x)。
Z=g(X,Y),概率密度f(x,y),则
$$E(Z)=E[g(X,Y)]=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}g(x,y)f(x,y)d_xd_y$$

1.1 性质

• C是常数，E(C)=C。
• E(CX)=C E(X)
• E(X+Y)=E(X)+E(Y)
• X,Y相互独立，则E(XY)=E(X)E(Y)

2 方差

定义：若E{ [X-E(X)]^2^ }存在，则为X的方差，记为D(X)或Var(X).
标准差（或均方差）$\sigma(X)=\sqrt{D(x)}$
离散型

$$D(X)=\sum_{k=1}^{\infty}[x-E(X)]^2f(x)d_x$$
连续型
$$D(X)=\int_{-\infty}^{\infty}[x-E(X)]^2f(x)d_x$$
D(X)=E(X^2^)-[E(X)]^2^

2.1 方差性质

X具有（0，1）分布，X~$\pi(\lambda)$ E(X)=D(X)=$\lambda$
X~U(a,b) E(X)=$\frac{a+b}{2}$ D(X)=$\frac{(b-a)^2}{12}$
X~b(n,p) E(X)=np D(X)=np(1-p)
X~N($\mu$,$\sigma^2$) E(X)=$\mu$ D(X)=$\sigma^2$
X服从指数分布，则其概率密度

$$\begin{eqnarray} f(x)= \begin{cases} \frac{1}{\theta} & x>0 \\ 0 & x\le0\\ \end{cases} \end{eqnarray}$$
E(X)= $\theta$ D(X)= $\theta^2$
- C是常数,则D(C)=0
- D(CX)=C^2^ D(X) D(X+C)=D(X)
- D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{ ( X-E(X) ) (Y-E(Y) ) },若X,Y相互独立，则 D(X+Y)=D(X)+D(Y)
- D(X)=0 $\Longleftrightarrow$ P{X=E(X)}=1

2.2 Chebyshev不等式

E(X)=$\mu$, D(X)=$\sigma^2$ ,对于任意正数$\varepsilon$ ,P{|X-$\mu$|$\ge\varepsilon$}$\le\frac{\sigma^2}{\varepsilon^2}$ ，或者
P{|X-$\mu$|}$\ge1-\frac{\sigma^2}{\varepsilon^2}$

3 协方差及相关系数

若X,Y相互独立，则E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=0,即X与Y的协方差，记为Cov(X,Y),为0。
Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}
X与Y的相关系数$\rho_{XY}$=$\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}$
Cov(X,Y)=Cov(Y,X) Cov(X,X)=D(X)
D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(x,y)
Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y) #常用于计算协方差

3.1 协方差性质

• Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)
• Cov($X_1+X_2$,$Y$)=Cov($X_1,Y$)+Cov($X_2,Y$)

3.2 协方差定理

$|\rho_{XY}|\le1$
$|\rho_{XY}|\Longleftrightarrow$ 存在常数a，b，使$P \{Y=a+bX\}=1$

4 矩、协方差定理