线段树优化DP

本文探讨了线段树在动态规划中的应用,分为刷表法和填表法两种方式。文章重点介绍了如何利用线段树减少空间和时间复杂度,并通过实例说明了其优势。

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线段树优化DP可以按DP方法(刷表法和填表法)分为2类。

如果是填表法那么其实就是一个区间求最值等等的,十分简单。

但是如果是刷表法那么就很难让人想到了,因为刷表法DP其实是没有填表法DP那么思路流畅的。

刷表法就相当于是区间赋值什么的。

线段树优化DP最好的一点在于,即使有O(n^2)个状态吗,如果你只需要求出其中的O(q)个状态,将线段树滚动一下或者直接原地转移,那么空间复杂度是O(n)的,时间复杂度也只是O(qlogn)。

比如BZOJ3585的两种nlogn方法,一种是线段树刷表法,一种是线段树填表法。



如果你希望**不使用线段树**,而使用**暴力 DP**来解决这个问题,那么我们可以采用一个**基于区间的动态规划方法**。 --- ### 🧠 思路回顾 - 目标是覆盖时间段 `[M, E]`。 - 每头奶牛提供一个工作区间 `[T1, T2]` 和一个报酬 `S`。 - 我们要选择若干奶牛,使得它们的工作区间**完全覆盖 [M, E]**,并且总报酬最小。 - 如果无法覆盖,输出 `-1`。 --- ### ✅ 暴力 DP 解法 #### 1. 动态规划定义 定义 `dp[i]` 表示覆盖到时间点 `i` 所需的最小费用。 初始状态: - `dp[M - 1] = 0`(表示在开始时间前不需要费用) - `dp[i] = INF` 表示时间点 `i` 无法被覆盖 #### 2. 状态转移 对于每头奶牛 `[T1, T2]` 和报酬 `S`,我们可以尝试从 `j ∈ [T1 - 1, T2]` 转移: - `dp[T2] = min(dp[T2], dp[j] + S)`,其中 `j ∈ [M - 1, T1 - 1]` #### 3. 最终答案 - 如果 `dp[E] == INF`,说明无法覆盖,输出 `-1` - 否则输出 `dp[E]` --- ### ✅ C++ 暴力 DP 实现 ```cpp #include <bits/stdc++.h> using namespace std; const int INF = 0x3f3f3f3f; const int MAX_TIME = 86400 + 10; // 最大时间点 +1 int N, M, E; int dp[MAX_TIME]; // dp[i] 表示覆盖到时间 i 的最小花费 struct Cow { int t1, t2, s; }; int main() { cin >> N >> M >> E; vector<Cow> cows(N); for (int i = 0; i < N; ++i) { int t1, t2, s; cin >> t1 >> t2 >> s; cows[i] = {t1, t2, s}; } // 初始化 dp 数组 fill(dp, dp + MAX_TIME, INF); dp[M - 1] = 0; // 暴力 DP for (int i = 0; i < N; ++i) { int t1 = cows[i].t1; int t2 = cows[i].t2; int s = cows[i].s; // 查询 [M-1, t1-1] 中的最小值 int min_cost = INF; for (int j = max(M - 1, 0); j <= t1 - 1; ++j) { if (dp[j] != INF) { min_cost = min(min_cost, dp[j]); } } if (min_cost != INF) { // 更新 [t1, t2] 范围内的 dp 值 for (int j = t1; j <= t2; ++j) { dp[j] = min(dp[j], min_cost + s); } } } if (dp[E] == INF) cout << -1 << endl; else cout << dp[E] << endl; return 0; } ``` --- ### ✅ 示例输入 ``` 3 1 10 1 5 6 4 10 9 1 10 12 ``` 输出: ``` 9 ``` --- ### ✅ 代码说明 | 步骤 | 说明 | |------|------| | `dp[M - 1] = 0` | 初始状态,表示在开始时间前不需要费用 | | `for (int j = max(M - 1, 0); j <= t1 - 1; ++j)` | 暴力查询 `[M-1, T1-1]` 中最小值 | | `for (int j = t1; j <= t2; ++j)` | 暴力更新 `[T1, T2]` 区间 | | `dp[E]` | 最终答案,表示覆盖到时间 `E` 的最小费用 | --- ### ✅ 时间复杂度分析 - 奶牛数量 `N ≤ 10000` - 时间范围 `E - M ≤ 86399` - 最坏情况下,每个奶牛都要遍历整个时间区间: - 时间复杂度为 `O(N * E)`,在最坏情况下会达到 `10^9`,可能会 **TLE** --- ### ✅ 优化建议(可选) 如果你希望进一步优化性能,可以考虑: - 使用**前缀最小值数组**来代替暴力查询最小值。 - 使用**区间 DP** 或 **线段树优化转移**,将时间复杂度降低到 `O(N log E)` --- ###
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