[NOI2019]序列（模拟费用流）

最新推荐文章于 2021-07-20 09:08:40 发布

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该博客介绍了如何解决NOI2019中涉及的序列问题，利用模拟费用流的方法进行求解。文章详细分析了四种可能的流法，包括直接匹配、最大值匹配以及两种退流策略，并强调了在实际实现中避免0环的重要性。作者提到使用优先队列（模拟堆）作为关键数据结构来实现解决方案，并指出在处理过程中，使用集合可能导致无法通过所有测试用例。

题目
费用流建出来大概是下面的图（没有写边权的边都是容量 $\infty$ ，费用为 $0$ ）
在这里插入图片描述
所以这个图有 $4$ 种流法（其实有 $5$ 种，但是第 $5$ 种在实际实现中可以被这 $4$ 种覆盖。）

$1 .$ 类似于 $\rightarrow D \rightarrow D' \rightarrow J$ 的流，直接把 $a_i+b_i$ 选中。
$2 .$ 类似于 $A\rightarrow D \rightarrow F \rightarrow G\rightarrow C'\rightarrow J$ 的流，选 $a_i$ 中最大和 $b_i$ 中最大的值匹配，显然两边最大值位置相同时 $1$ 比 $2$ 要更优秀，此时走 $1$ 不走 $2$ ，尽管我们的费用是一样的，这样写的好处是费用流的流就不会有让你走 $0$ 环来给 $F\rightarrow G$ 退流的情况，可以少几类讨论。
$3, 4 .$ 都是带有退流的性质，具体就是如果 $C'\rightarrow J$ 被流了，那么我们用 $C$ 配上 $C^{'}$ 然后通过 $C'\rightarrow G$ 退流回去让原来的和 $C^{'}$ 匹配的点 $X$ 另找一个配对点再走一个类似 $\rightarrow E'$ 的路径，注意如果另外找的配对点是 $X^{'}$ ，我们就要顺便把 $F\rightarrow G$ 退流，以此来避免走 $0$ 环。
$4$ 是 $3$ 在 $A$ 这一侧的类似情况。
然后注意写 $s e t$ 是怎么卡都过不了的。
写优先队列模拟堆即可。
$\mathcal AC \ Code$

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 200005
#define rep(i,j,k) for(int i=(j),LIM=(k);i<=LIM;i++)
#define per(i,j,k) for(int i=(j),LIM=(k);i>=LIM;i--)
#define pii pair<int,int>
#define mp make_pair
#define LL long long
#define Fi first
#define Se second
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;

int n,K,L,a[maxn],b[maxn];
int usa[maxn],usb[maxn];
priority_queue<pii >Ha,Hb,Fa,Fb,G;

char cb[1<<16],*cs=cb,*ct=cb;
#define getc() (cs==ct&&(ct=(cs=cb)+fread(cb,1,1<<16,stdin),cs==ct)?0:*cs++)
void read(int &res){
	char ch;
	for(;!isdigit(ch=getc()););
	for(res=ch-'0';isdigit(ch=getc());res=res*10+ch-'0');
}

int main(){
	
	freopen("sequence.in","r",stdin);
	freopen("sequence.out","w",stdout);
	
	int T;read(T);
	for(;T--;){
		read(n),read(K),read(L);
		for(;!Ha.empty();Ha.pop());
		for(;!Hb.empty();Hb.pop());
		for(;!Fa.empty();Fa.pop());
		for(;!Fb.empty();Fb.pop());
		for(;!G.empty();G.pop());
		rep(i,1,n) usa[i] = usb[i] = 0;
		rep(i,1,n) read(a[i]),Ha.push(mp(a[i],i));
		rep(i,1,n) read(b[i]),Hb.push(mp(b[i],i)),G.push(mp(a[i]+b[i],i));
		LL ans = 0;int stC = K-L;
		rep(Tim,1,K){
			for(;!Ha.empty() && usa[Ha.top().Se];Ha.pop());
			for(;!Hb.empty() && usb[Hb.top().Se];Hb.pop());
			for(;!Fa.empty() && usa[Fa.top().Se];Fa.pop());
			for(;!Fb.empty() && usb[Fb.top().Se];Fb.pop());
			for(;!G.empty() && (usa[G.top().Se] || usb[G.top().Se]);G.pop());
			if(stC){
				int x = (Ha.top()).Se , y = (Hb.top()).Se;
				ans += a[x] + b[y];
				stC--;
				
				usa[x] = 1;
				if(!usb[x]) Fb.push(mp(b[x],x));
				else stC++;
				
				usb[y] = 1;
				if(!usa[y]) Fa.push(mp(a[y],y));
				else stC++;
			}
			else{
				int A = (G.empty() ? -inf : (G.top()).Fi) , B = (Fa.empty() ? -inf : (Fa.top()).Fi) + (Hb.top()).Fi , C = (Ha.top()).Fi + (Fb.empty() ? -inf : (Fb.top()).Fi);
				if(A >= B && A >= C){
					ans += A;
					int t = (G.top()).Se;
					usa[t] = usb[t] = 1;
				}
				else if(B >= A && B >= C){
					ans += B;
					int x = (Fa.top()).Se , y = (Hb.top()).Se;
					if(usa[y]) stC++;
					else Fa.push(mp(a[y],y));
					usa[x] = usb[y] = 1;
				}
				else{
					ans += C;
					int x = (Fb.top()).Se , y = (Ha.top()).Se;
					if(usb[y]) stC++;
					else Fb.push(mp(b[y],y));
					usb[x] = usa[y] = 1;
				}
			}
		}
		printf("%lld\n",ans);
	}
}