jzoj5215&&bzoj4870[Shoi2017]组合数问题 dp+矩阵快速幂

最新推荐文章于 2020-01-02 20:46:58 发布

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分类专栏： bzoj DP 矩阵快速幂神奇脑洞题

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本文介绍了一种利用矩阵快速幂高效计算模意义下特定条件的组合数问题的方法。通过矩阵运算避免了传统递归方式可能带来的效率问题，适用于解决大规模数据集上的组合数计算。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

补档，之前做了忘记写blog了
题意（看不出来你就输了）：在nk个数中选择r(模k意义下)个的方案数%p
这不就是组合数= =
明显有f[i][j]=f[i-1][j]（不选i）+f[i-1][j-1]（选i）
当然你也可以理解为前i个选择了j个。（这不是废话嘛）
线性明显会炸，所以直接上矩阵快速幂，这个很明显了。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
using namespace std;
const int N=1e5+5;
typedef long long ll;
struct matrix
{
    ll mat[55][55];
}a,b,c,d;
ll n,K,p,r;
matrix operator *(matrix a,matrix b)
{
    memset(d.mat,0,sizeof(d.mat));
    fo(i,0,K-1)
      fo(j,0,K-1)
        fo(k,0,K-1)
        {
            d.mat[i][j]=(d.mat[i][j]+a.mat[i][k]*b.mat[k][j]%p)%p;
        }
    return d;
}
inline matrix pow(matrix a,ll b)
{
    memset(c.mat,0,sizeof(c.mat));
    fo(i,0,K-1)c.mat[i][i]=1;
    while (b)
    {
        if (b&1)c=c*a;
        a=a*a;
        b>>=1;
    }
    return c;
}
int main()
{
    scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&p,&K,&r);
    a.mat[0][0]=b.mat[0][0]=1;
    b.mat[0][K-1]++;
    fo(i,1,K-1)b.mat[i][i]++,b.mat[i][i-1]++;
    b=pow(b,n*K);
    a=a*b;
    printf("%lld\n",a.mat[0][r]);
    return 0;
}