2019.8.11校内赛G题NKOJ4712CF505C收集宝石

何老板最近在玩一款收集宝石的手游。游戏虽然简单，但他仍然乐此不疲。
游戏中，有$30001$个小岛排成一条直线，小岛从左往右编号$0$到$30000$，相邻岛屿间距为$1$。
有$n$块宝石分布在这些岛上，其中第$i$块宝石分布在$Pi$号岛上。
游戏规则如下：
游戏开始时，游戏角色小飞侠位于$0$号小岛。何老板操控小飞侠往右飞行。
第$1$次飞行距离只能是$d$米。也就是第一次飞行只能飞到d号小岛去着陆。
第$i(i>1)$次飞行的距离可从$Len-1,Len,Len+1$中任选一个。$Len$是第$i-1$次飞行的距离。
如果没法继续往右飞行了，游戏结束。
每着陆到一个岛上，小飞侠就可以收集该岛上的所有宝石。何老板想知道，他最多能获得多少块宝石。

输入格式:

第一行，两个整数$n$和$d$,
$1\le n,d\le 30000$
接下来$n$行，每行一个整数，其中第i行表示第i块宝石所在的小岛的编号$Pi$。
$1\le i\le n$
$d\le P1\le P2\le ...\le Pn\le 30000$

输出格式:

一个整数，表示何老板最多能够收集到的宝石数量

解：

我们对于这道题，有一个十分显然的方式：
设$f[i][j]$表示从$i$号岛出发，出发的速度为$j$
很显然有一个方程:
$f[i][j]=\max \{\begin{array}{ll}f[i+j][j]& \text{i+j<=\hspace{0.17em}30000}\\ f[i+j+1]j+1]& \text{i+j+1<=\hspace{0.17em}30000}\\ f[i+j-1][j-1]& \text{j>1}\end{array}$
但是显然我们发现这样时间复杂度是$O(nd)$
在$30000^2$的数字我们显然放弃。
但是我们突然发现。
为什么题目说的是$30001$？为什么要固定？
我们来考虑下$d$的偏移量。
我们惊奇地发现：
$$\sum _1^{245}>30001$$
考虑了一下，所以说在实际决策中我们用到的速度其实只有$500$种（约等于$490$）
这就把第二维降到了$500$的程度

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
template<typename T>
void rin(T &t)
{t=0;int k=1;char c=getchar();while(!isdigit(c)){if(c=='-')k=-1;c=getchar();}while(isdigit(c)){t=t*10+c-'0';c=getchar();}t*=k;}
typedef long long ll;
const int maxn=30001+5;
int pos[maxn],a[maxn],n,d,ans,f[maxn][505];
int dp(int x,int dv)
{
    int v=dv-250+d;
    if(x>pos[n])return 0;
    if(f[x][dv]!=-1)return f[x][dv];
    f[x][dv]=0;
    f[x][dv]=max(f[x][dv],dp(x+v+1,dv+1));
    f[x][dv]=max(f[x][dv],dp(x+v,dv));
    if(v>1)f[x][dv]=max(f[x][dv],dp(x+v-1,dv-1));
    f[x][dv]=f[x][dv]+a[x];
    return f[x][dv]; 
}
int main()
{
    rin(n);rin(d);
    memset(f,-1,sizeof(f));
    for(int i=1;i<=n;i++){rin(pos[i]);a[pos[i]]++;}
    cout<<dp(d,250);
    return 0;
}