信号与系统基础知识2：非理想信号的傅里叶变换/级数

一、本文内容与前置知识点

1. 本文内容

非理想信号的傅里叶变换/级数

2. 前置知识点

1. 信号与系统基础知识1：连续周期信号的傅里叶级数

二、连续非周期信号的傅里叶变换

1. 表示形式

自然界中，连续周期信号比较少见。如果是一个连续非周期信号，如何衡量这个信号的变化快慢呢？
$$x(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }X(\omega )e^{j\omega t}d\omega$$
$$X(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-j\omega t}dt$$

2. 快慢分析

可见，一个连续非周期信号可以用不同频率函数的加权积分来表示。

三、离散周期信号的傅里叶级数

这里不对离散信号的快慢进行分析，笔者自己没想明白

$$x[n]=\sum _{k=0}^{N-1}{C}_k{e}^{j\frac{2\pi }{N}kn},n=0,1,\dots ,N-1$$
$$C_k=\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j\frac{2\pi }{N}kn},k=0,1,\dots ,N-1$$

注意$C_k$对应的复指数信号时$e^{j\frac{2\pi }{N}kn}$，其周期为$m\frac{2\pi }{{\omega }_0}=m\ast \frac{N}{k}$

四、离散非周期信号的傅里叶变换

这里不对离散信号的快慢进行分析，笔者自己没想明白

$$x[n]=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }X(\omega )e^{j\omega n}d\omega$$
$$X(\omega )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]e^{-j\omega n},-\pi \le \omega \le \pi$$