BZOJ4753 [Jsoi2016]最佳团体 【树形背包】【二分】

题目链接：https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4753

题解：
对于最终答案进行浮点二分，对于每次的 $mid$，进行$dp$。
令$dp[i][j]$ 表示考虑到 $dfs序$ 第 $i$ 个结点及所在子树，已经选了 $j$ 个结点的最大权值（$\Sigma_{i=1}^n (p[i]-cur*s[i])$），后面的那一个式子每次二分可以先预处理一下。
注意到我们进行 $dp$ 的时候需要按照字典序$dp$，所以可以先在二分之前$dfs$一下。
接下来问题就变成了：要选若干个数，如果要选结点 $i$ 则必须要选$i$的左右祖先，这是一个依赖背包，每次 $dp$ 的时候有两种情况：
$(1)$ 第 $i$ 个点选：
$dp[i+1][j+1]=max(dp[i+1][j+1],dp[i][j]+d[i]);$
$(2)$ 第 $i$ 个点不选：
$dp[to[i]][j]=max(dp[to[i]][j],dp[i][j]);$
其中 $to[i]$ 表示$dfs$序第 $i$ 个点所在子树的$dfs$序的最后一个结点，这个可以在一开始$dfs$的时候顺便预处理一下。
然后答案就是$dp[i][k+1]$是否存在一个$i$使得$dp[i][k+1]>=eps$，注意到因为我这是用推的方法写$dp$的，所以答案就是$k+1$而不是$k$。
注意浮点数的精度，我用的$eps$是取到 $1e-7$

代码：

// by Balloons
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define mpr make_pair
#define debug() puts("okkkkkkkk")
#define rep(i,a,b) for(int (i)=(a);(i)<=(b);(i)++)

using namespace std;

typedef long long LL;

const int inf = 1 << 30;
const double eps=1e-7;

const int maxn=2505;
int k,n;
int s[maxn],p[maxn],r[maxn]; 
vector<int>tree[maxn];
int dfn[maxn],dfs_clock=0,to[maxn];
// dp[i][j] 表示考虑到第 i 个结点及所在子树，已经选了 j 个结点的最大权值（sigma (p[i]-cur*s[i])） 
double dp[maxn][maxn],d[maxn];

// 通过 dfs 预处理出 dfs序和 i 及所在子树能够最多到达的dfs序 
void dfs(int now){
    dfn[now]=dfs_clock++;
    for(int i=0;i<tree[now].size();i++){
        int u=tree[now][i];
        dfs(u);
    }
    to[dfn[now]]=dfs_clock;
}

int check(double cur){
    // dfs序为 i 的人所对应的权值 
    for(int i=1;i<=n;i++)d[dfn[i]]=1.0*p[i]-cur*s[i];
    // 0号结点一定需要选 
    for(int i=1;i<=n+1;i++)
        for(int j=0;j<=k+1;j++)dp[i][j]=-1e9;
    for(int i=0;i<=n;i++){
        for(int j=0;j<=min(i,k);j++){ 
            // 当前结点选，如果当前不是所在子树dfs序的最后一个结点，且父亲结点选过，就更新（加上权值） 
            if(to[i]!=i&&dp[i][j]!=-1e9)dp[i+1][j+1]=max(dp[i+1][j+1],dp[i][j]+d[i]);
            // 当前结点不选，就是直接更新到下一个非i子树的结点 
            if(dp[i][j]!=-1e9)dp[to[i]][j]=max(dp[to[i]][j],dp[i][j]); 
        }
    } 
    // 判断，如果有一种选法可以满足条件，就ok 
    for(int i=0;i<=n+1;i++)
        if(dp[i][k+1]>=eps)return 1;
    return 0;
}

int main(){
    scanf("%d%d",&k,&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d%d%d",&s[i],&p[i],&r[i]);
        tree[r[i]].push_back(i);
    }
    dfs(0);
    double l=0.0,r=10000.0,ans;
    while(l+eps<=r){
        double mid=(l+r)/2.0;
        if(check(mid)){
            ans=mid;
            l=mid;
        }else r=mid;
    }
    printf("%.3f\n",ans);

    return 0;
}