【DP】【前缀和优化】2019雅礼集训 Inverse

最新推荐文章于 2025-07-10 20:46:18 发布

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本文介绍了如何利用动态规划和前缀和优化解决一个排列在随机选择区间翻转后的逆序对期望数量问题。分析了四种不同的情况，并详细解释了状态转移方程，包括二次前缀和的应用。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目：

给出一个排列，随机选择K个区间，依次翻转这些区间，求翻转后逆序对的期望个数。

分析：

窝草。。。原来逆序对还能有算贡献的方法。

自己跟着题解推一遍之前，完全不觉得这样可做。。。

定义 $D p (i, j, k)$ 表示在经过k次变化后， $P_i<P_j$ 的概率。

转移有点麻烦：

要分四种情况讨论：
1、 $l≤i≤r<jl\leq i\leq r<j$ ，这种情况需要把转移式列出来，然后发现是二次前缀和。
2、 $i<l≤j≤ri<l\leq j\leq r$ ，同上，只需要把转移式里的 $i$ 改为 $n - i + 1$ ， $j$ 改为 $n - j + 1$
3、 $i<l≤r<j或r<i或l>ji<l\leq r<j或r<i或l>j$ ，这种情况不影响他们的位置，只需统计多少种可能的方案即可。
4、 $l≤i<j≤rl\leq i<j\leq r$ ，这种情况比较麻烦，需要定义一个 $g (i, j) = D p (i, i + j, k)$ ，然后可以发现转移式可以表示为 $g (i, j)$ 的二次前缀和。

具体看代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define SF scanf
#define PF printf
#define MAXN 510
#define MAXK 55
#define MOD 1000000007
using namespace std;
typedef long long ll;
int a[MAXN];
ll f[MAXN][MAXN][MAXK],s1[MAXN],s2[MAXN];
inline ll get_num(ll x){
	return x*(x+1ll)/2ll;	
}
ll fsp(ll x,int y){
	ll res=1;
	while(y){
		if(y&1)
			res=res*x%MOD;
		x=x*x%MOD;
		y>>=1;
	}
	return res;
}
int main(){
	int n,k;
	SF("%d%d",&n,&k);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		SF("%d",&a[i]);
	for(register int i=1;i<=n;i++)
		for(register int j=i+1;j<=n;j++)
			f[i][j][0]=(a[i]>a[j]);
	ll inv=fsp(get_num(n),MOD-2);
	for(register int k1=1;k1<=k;k1++){
		for(register int i=1;i<=n;i++)
			for(register int j=i+1;j<=n;j++)
				f[i][j][k1]=f[i][j][k1-1]*(get_num(i-1)+get_num(n-j)+get_num(j-i-1))%MOD;
		for(register int j=1;j<=n;j++){
			for(register int i=1;i<j;i++){
				s1[i]=s1[i-1]+f[i][j][k1-1];
				if(s1[i]>=MOD) s1[i]-=MOD;
				s2[i]=s2[i-1]+s1[i];
				if(s2[i]>=MOD) s2[i]-=MOD;
			}
			for(register int i=1;i<j;i++)
				f[i][j][k1]+=(s2[j-1]-s2[j-i-1]-s2[i-1]);
		}
		for(register int i=1;i<=n;i++){
			for(register int j=n;j>i;j--){
				s1[n-j+1]=s1[n-j]+f[i][j][k1-1];
				if(s1[i]>=MOD) s1[i]-=MOD;
				s2[n-j+1]=s2[n-j]+s1[n-j+1];
				if(s2[i]>=MOD) s2[i]-=MOD;
			}
			for(register int j=i+1;j<=n;j++)
				f[i][j][k1]+=(s2[n-i]-s2[j-i-1]-s2[n-j]);
		}
		for(register int j_i=1;j_i<=n;j_i++){
			for(register int i=1;i+j_i<=n;i++){
				s1[i]=s1[i-1]+(MOD+1-f[i][i+j_i][k1-1]);
				if(s1[i]>=MOD) s1[i]-=MOD;
				s2[i]=s2[i-1]+s1[i];
				if(s2[i]>=MOD) s2[i]-=MOD;
			}
			for(register int i=1;i+j_i<=n;i++)
				f[i][i+j_i][k1]+=(s2[n-j_i]-s2[n-j_i-i]-s2[i-1]);
		}
		for(register int i=1;i<=n;i++)
			for(register int j=i+1;j<=n;j++){
				f[i][j][k1]=(f[i][j][k1]%MOD)*inv%MOD;
				if(f[i][j][k1]<MOD)
					f[i][j][k1]+=MOD;
			}
	}
	ll ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=i+1;j<=n;j++)
			ans=(ans+f[i][j][k])%MOD;
	ans=(ans+MOD)%MOD;
	PF("%lld",ans);
}