双向BFS&Meet in the Middle算法总结

前言：

尽管搜索题在难度高的比赛中都不是重要考点，但作为骗分的一大技巧，无论多强的选手，都仍然无法忽视搜索的重要性。并且，有些高难度比赛中，一些带一定技巧的搜索题，很有可能会放在签到题的位置上。这些题全场都会做，但正因如此，所有人都会毫不犹豫地先写这道题，如果在这道题上花的时间过多，对后面的难题将造成不可估量的影响。

总之，练好搜索是绝对必要的。

双向BFS

传统的BFS是从起点出发，一直搜到终点为止，而双向BFS则是从起点和终点同时出发，搜到两者的某些状态相遇为止。
在一些限定行走步数的问题中，双向BFS往往是非常有效的一种方式。
例如：POJ1198Solitaire
这道题中，要求最多走8步，考虑每一步可以转移的情况，总共有16种，总的状态数就会有$16^8=4294967296$种（当然，这道题中，由于棋盘的限制，最多应该仅有$64^4=16777216$种，不过仍然无法支持），这明显是不可能做到的，但如果考虑双向BFS，那么一边最多走4步，另一边最多走3步，总的情况数就降为$16^4+16^3=69632$种，这就相当可做了。

另一种方式理解双向BFS的优越性，可以画一个图来表示

假设S是初始状态，T是终止状态，如果普通BFS，其搜索范围为圆S的面积。

而如果使用双向BFS，搜索的范围则变为了：

实现时有些要注意的：
1、初始状态可能与目标状态重合，要特判
2、前半状态与后半状态之间的连接还需要一步，所以如果拆8步需要拆成4步+3步，而不能是4步+4步
3、两种状态要同步进行，不需要先搞从s出发，再搞从t出发，只需要用标记存储当前状态的来源即可。

Meet in the Middle

这是一种深搜的重要技巧，通过减半枚举量，再将两部分答案组合起来，以达到降低复杂度的目的。
比较经典的题是POJ1903
通过枚举前半部分的选择状态，以及后半部分的选择状态，我们的枚举量大大降低（从$2^{40}变为2*2^{20}$）

注意事项：
1、这个算法有个很大的局限，在于中间合并两部分状态时，有可能需要$n^2$的复杂度，这样会使算法效率退化。一定要优化这里的合并，或者用其他方式定义状态。
2、一般来说，我们不会把两部分的状态都存下来（少数例外），常规做法是：暴力枚举左半部分后，将左半部分信息存储，在暴力枚举右半部分时，直接在左半部分的信息中筛选即可。