【总结】FFT算法在信息竞赛中的应用

FFT算法本身就是一种优化，优化（类似）卷积运算的时间复杂度
（卷积：${\sum }_{i,j}{a}_i\ast b_{j-i}$）。
FFT的本质，其实是利用复数的一些特殊性质，将一个多项式快速地在点值和系数两种表示方法间来回切换。再利用两个多项式点值表示法相乘的复杂度为O(n)，来达到降时间的目的。

FFT算法的前导概念

首先介绍关于复数的一些定义及性质
复数：一种形如$a+bi$的数称为复数，其中$a$为实部，$b$为虚部，$i$为虚部单位$（i^2=-1）$

对于每个$a+bi$，$a-bi$为它的共轭复数

其实可以将复数看作一个二项式，其运算法则与实数概念上的二项式几乎相同，只需要注意i即可。

另外，复数也可以用向量来表示：表示为在复平面上(a,b)的向量。向量的模长为$\sqrt{a^2+b^2}$。
所以，同样地，复数还可以用三角函数来表示：即
$a+bi=\sqrt{a^2+b^2}\ast (cos\theta +sin\theta i)$
在这种表示方法下，两个复数相乘，就可以表示为其角度相加，模长相乘
$$p\ast (cos\alpha +sin\alpha i)\ast q\ast (cos\beta +sin\beta i)$$
$$=p\ast q\ast (sin\alpha \ast cos\beta i+cos\alpha \ast sin\beta i-sin\alpha \ast sin\beta +cos\alpha \ast cos\beta )$$
$$=p\ast q\ast (cos(\alpha +\beta )+sin(\alpha +\beta )i)$$

然后是多项式的一些概念：
首先我们将$A(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+a_{n-2}{x}^{n-2}...a_{1}x+a_0$称为一个多项式，同时这种形式也就是系数表示法。
点值表示法：
我们可以将n-1次（包括常数一共n项）的多项式，用位于A(x)上的n个点来表示。
很容易就会发现，点值表示时，两多项式相乘复杂度为O(n)

FFT算法介绍

首先还需要引入一个单位复根的概念:
单位复根就是${\omega }^n=1$的n个解
设${\omega }_n^k=cos\theta +sin\theta i,\theta =\frac{2k\pi }{n}（k=0,1,2...n-1）$
很容易发现：${\omega }_n^k={\omega }_n^{k+n}$即有周期性

离散傅里叶变换

下面开始玄学推理：
首先$\frac{1}{n}{\sum }_{k=0}^{n-1}{\omega }_n^{vk}=[vmodn=0]$
将v换为p+q
$[(p+q)modn=r]=[(p+q-r)=0]=\frac{1}{n}{\sum }_{k=0}^{n-1}{\omega }_n^{(p+q-r)k}=\frac{1}{n}{\sum }_{k=0}^{n-1}{\omega }_n^{pk}{\omega }_n^{qk}{\omega }_n^{-rk}$
设$c_r$为多项式相乘后第i项的系数
有：$c_r={\sum }_{p,q}[(p+q)modn=r]a_p{b}_q=\frac{1}{n}{\sum }_{k=0}^{n-1}{\omega }_n^{pk}{\omega }_n^{qk}{\omega }_n^{-rk}{a}_p{b}_q=\frac{1}{n}{\sum }_{k=0}^{n-1}{\omega }_n^{-rk}{\omega }_n^{pk}{a}_p{\omega }_n^{qk}{b}_q$
现在，令$d_m={\sum }_{k=0}^{n-1}{\omega }_n^{mk}{a}_k$
$g_m={\sum }_{k=0}^{n-1}{\omega }_n^{mk}{b}_k$
$h_m=d_m\times g_m$
则$c_m=\frac{1}{n}{\sum }_{k=0}^{n-1}{\omega }^{-mk}{h}_k$
将a,b转化为d,e以及将h转化为c,都是离散傅里叶变换，其复杂度均为$O(n^2)$。

快速傅里叶变换

现在我们要降低离散傅里叶变换的时间复杂度。
一个很简单的思路是这样的：
首先只针对于n为2的整次幂的情况
将A(x)按照奇偶次项分离，记为$A_0(x),A_1(x)$
对于任意$m<\frac{n}{2}$
$A({\omega }_n^m)=A_0({\omega }_n^{2m})+{\omega }_n^m{A}_1({\omega }_n^{2m})=A_0({\omega }_{n/2}^m)+{\omega }_n^m{A}_1({\omega }_n^{2m})$
$A({\omega }_n^{m+n/2})=A_0({\omega }_n^{2m})+{\omega }_n^{m+n/2}{A}_1({\omega }_n^{2m})=A_0({\omega }_{n/2}^m)-{\omega }_n^m{A}_1({\omega }_n^{2m})$
这样一来，我们就可以通过二分来计算离散傅里叶变换。这就是快速傅里叶变换

代码实现

首先是比较浅显易懂，与讲解结合较紧密的递归版本

缺点是常数过大。
因此，我们需要迭代版本：
观察递归时函数的参数：
$(a_0,a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7)$
$(a_0,a_2,a_4,a_6)(a_1,a_3,a_5,a_7)$
$(a_0,a_4)(a_2,a_6)(a_1,a_5)(a_3,a_7)$
$(a_0)(a_4)(a_2)(a_6)(a_1)(a_5)(a_3)(a_7)$
在二进制下，可以表示为：
000，100，010，110，001，101，011，111
如果你从前向后看，会发现其实是一个倒序进位的二进制数！
这样，就能知道每一层的参数中系数的顺序了。
迭代版的模板：

void fft(cpx *a,int f){
    int i,j,k;
    for(i=1,j=0;i<N-1;i++){//N为大于两多项式长度之和的最小的2的整次幂
        for(int d=N;j^=d>>=1,~j&d;);
        if(i<j)
            swap(a[i],a[j]);
    }
    for(i=1;i<N;i<<=1){
        cpx wn(cos(Pi/i),f*sin(Pi/i));
        for(j=0;j<N;j+=i<<1){
            cpx w(1,0);
            for(k=0;k<i;k++,w=w*wn){
            	cpx x=a[j+k],y=w*a[j+k+i];
            	a[j+k]=x+y;
            	a[j+k+i]=x-y;
			}
        }
    }
    if(f==-1)
    	for(i=0;i<N;i++)
    		a[i].r/=N;
}

看到这里，建议再往回看开头，也许能加深印象
提供一道模板题：UOJ34多项式乘法