【算法竞赛学习笔记】快速傅里叶变换FFT-数学提高计划

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tilte : 快速傅里叶变换FFT学习笔记
tags : ACM,数论
date : 2021-7-18

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简介

FFT（Fast Fourier Transformation），中文名快速傅里叶变换，用来加速多项式乘法。

DFT，中文名离散傅里叶变换，用来把多项式转化成离散的点。

IDFT,中文名离散傅里叶反变换，用来把离散的点还原成多项式。

时间复杂度O(nlogn)

将一个用系数表示的多项式转换成它的点值表示的算法。

系数表示法：

f(x)={ a0,a1,a2,...,an−1}f(x)=\{a_0,a_1,a_2,...,a_{n-1}\}f(x)={ a0​,a1​,a2​,...,an−1​}

点值表示法：

f(x)={ (x0,f(x0)),(x1,f(x1)),...,(xn−1,f(xn−1))}f(x)=\{(x_0,f(x_0)),(x_1,f(x1)),...,(x_{n-1},f(x_n-1))\}f(x)={ (x0​,f(x0​)),(x1​,f(x1)),...,(xn−1​,f(xn​−1))}

高精度乘法下，系数表示法将多项式相乘需要时间复杂度$O(n^2)$

而点值表示法只需要$O(n)$

原因：

设两个点值多项式分别为f(x)={ (x0,f(x0)),(x1,f(x1)),...,(xn−1,f(xn−1))}g(x)={ (x0,g(x0)),(x1,g(x1)),...,(xn−1,g(xn−1))}设题目他们的乘积是h(x)，那么h(x)={ (x0,f(x0)⋅g(x0)),(x1,f(x1)⋅g(x1)),...,(xn−1,f(xn−1)⋅g(xn−1))} 设两个点值多项式分别为\\ f(x)=\{(x_0,f(x_0)),(x_1,f(x1)),...,(x_{n-1},f(x_{n-1}))\}\\ g(x)=\{(x_0,g(x_0)),(x_1,g(x1)),...,(x_{n-1},g(x_{n-1}))\}\\ 设题目他们的乘积是h(x)，那么\\ h(x)=\{(x_0,f(x_0)·g(x_0)),(x_1,f(x_1)·g(x1)),...,(x_{n-1},f(x_{n-1})·g(x_{n-1}))\}\\ 设两个点值多项式分别为f(x)={ (x0​,f(x0​)),(x1​,f(x1)),...,(xn−1​,f(xn−1​))}g(x)={ (x0​,g(x0​)),(x1​,g(x1)),...,(xn−1​,g(xn−1​))}设题目他们的乘积是h(x)，那么h(x)={ (x0​,f(x0​)⋅g(x0​)),(x1​,f(x1​)⋅g(x1)),...,(xn−1​,f(xn−1​)⋅g(xn−</