树状数组

最新推荐文章于 2024-09-18 20:54:10 发布

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还是先看看基础的树状数组坐标是怎么由二进制进化来的这个大神写的非常基础
https://www.cnblogs.com/xenny/p/9739600.html
我们就是把数组下标为偶数的推到最顶端
在这里插入图片描述
我们可以得到以下的关系式：

C[1]（1） = A[1];
C[2] （10）= A[1] + A[2];
C[3] （11）= A[3];
C[4] （100）= A[1] + A[2] + A[3] + A[4];
C[5] （101）= A[5];
C[6] （110）= A[5] + A[6];
C[7] （111）= A[7];
C[8] （10000）= A[1] + A[2] + A[3] + A[4] + A[5] + A[6] + A[7] + A[8];
可以发现，这颗树是有规律的

奇数我们就先不管我们来观察偶数我们可以发现偶数坐标满足一下规律

C[i] = A[i - 2^k+1] + A[i - 2^k+2] + … + A[i]; k为i的二进制中从最低位到高位连续零的长度

我们怎么来获取这个K的值呢？
我们可以发现2^k次方其实就是最低位1的位置

● 这里利用的负数的存储特性，负数是以补码存储的，对于整数运算 x&(-x)有
● 当x为0时，即 0 & 0，结果为0；
●当x为奇数时，最后一个比特位为1，取反加1没有进位，故x和-x除最后一位外前面的位正好相反，按位与结果为0。结果为1。
●当x为偶数，且为2的m次方时，x的二进制表示中只有一位是1（从右往左的第m+1位），其右边有m位0，故x取反加1后，从右到左第有m个0，第m+1位及其左边全是1。这样，x& (-x) 得到的就是x。
●当x为偶数，却不为2的m次方的形式时，可以写作x= y * (2 k); 其中，y的最低位为1。实际上就是把x用一个奇数左移k位来表示。这时，x的二进制表示最右边有k个0，从右往左第k+1位为1。当对x取反时，最右边的k位0变成1，第k+1位变为0；再加1，最右边的k位就又变成了0，第k+1位因为进位的关系变成了1。左边的位因为没有进位，正好和x原来对应的位上的值相反。二者按位与，得到：第k+1位上为1，左边右边都为0。结果为2^k。
● 总结一下：x&(-x)，当x为0时结果为0；x为奇数时，结果为1；x为偶数时，结果为x中2的最大次方的因子。
搞懂了树状数组的下标和二进制按位与的关系以后，我们就需要去观察怎样访问C[I]，也就是求和了；

Sum[1]=c[1];
Sum[2]=c[2];
Sum[3]=c[2]+c[3];
Sum[4]=c[4];
Sum[5]=c[4]+c[5];
Sum[6]=c[4]+c[6];
Sum[7]=c[4]+c[6]+c[7];
Sum[8]=c[8];
先列出一个比较特殊的例子吧：i=7时:Sum[7]=c[7]+c[6]+c[4]
Sum(111)=c(111)+c(110)+c(100)
我们可以发现他是更新树状数组的逆过程就是从i递减 i &（-i）

好了现在我们终于进入到写模板的时刻了

int n;
int a[1005],c[1005]; //对应原数组和树状数组

int lowbit(int x){//其实这个我们可以写到定义函数中 因为进场使用到
    return x&(-x);
}

void updata(int i,int k){    //在i位置加上k
    while(i <= n){//注意：N是全局变量，并且我们要注意N的范围选取
        c[i] += k;
        i += lowbit(i);
    }
}

int getsum(int i){        //求A[1 - i]的和
    int res = 0;
    while(i > 0){
        res += c[i];
        i -= lowbit(i);
    }
    return res;
}

对于任意一个区间的查询我们又该怎么去做呢？

其实特别简单 我们要求Sum[R-L+1]=Sum[R]-Sum[L-1]
还有就是减法呢 我们就只需要update（n,-x) 也就是加上相反数就可以了