超详细树状数组讲解（原理+代码实现+拓展）

写在前面

话说挑个阴间时间发就没人看了罢（

这篇文章真的废了我很多心血，接下来几个月上学，可能没有很多时间写博客，所以难免会出现一些错误和讲得不够详细的地方，欢迎大家评论指出！

1 为什么要用树状数组

1.1 树状数组的用处

在做题的时候，经常会遇到“单点修改+区间查询”“区间修改+单点查询”“求逆序对个数”之类的问题。

如果只用一般的思路去写，很容易写出    的做法——

对于每个询问，遍历询问区间进行修改/查询。

但是当数据量加大的时候，就只能用树状数组优越的小常数以及    的时间复杂度进行优化。

1.2 树状数组？线段树？

另一种数据结构“线段树”与树状数组的时间复杂度大体相似，但我不会线段树

线段树的常数比树状数组略大一些，而且它的代码量更大；

不过它能解决的问题比树状数组多一点，但是树状数组也可以解决大部分线段树问题才怪

2 树状数组原理

2.1 思想

树状数组本质其实就是在维护一个前缀和/差分。

在“单点修改+区间查询”和求逆序对的时候用的就是前缀和的思想，“区间修改+单点查询”也要用到差分思想，所以不会前缀和和差分的点这里；

2.2 树？数组？

为什么把“数组”和“树”两个相反的词放在一起呢？

其实树状数组从实现上看是一个数组，它的定义是：

1) int lowbit(int x) 返回 x 转为二进制后最后一个 1 的位置所代表的数值

e.g.   =   所以返回   =  

2) 定义 tree 数组为 a 数组的树状数组 tree[i] = a[i-lowbit(i)+1] + a[i-lowbit(i)+2] + ... + a[i]

即

为什么说这是个树呢？请看VCR:

图中t[i]就是前面的 tree[i] ， tree[i] 对应绿