5. 最长回文子串（leetcode)

给定一个字符串 s，找到 s 中最长的回文子串。你可以假设 s 的最大长度为1000。

示例 1：

输入: "babad"
输出: "bab"
注意: "aba"也是一个有效答案。

示例 2：

输入: "cbbd"
输出: "bb"

 

解决方案

方法一：暴力法

很明显，暴力法将选出所有子字符串可能的开始和结束位置，并检验它是不是回文。

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n^3)。

• 空间复杂度：O(1)。

方法二：动态规划

我们需要维护一个二位数组dp[j][i]用来表示字符串区间[j, i]是否为回文串，当 i = j 时说明只有一个字符，是回文串；当 i = j+1 时，说明是相邻字符，只有当s[i]和s[j]相等的时候是回文串；当 i > j+1 时，只有当s[i]和s[j]相等并且dp[j+1][i-1]是回文串的时候dp[j][i]才是回文串。

class Solution {
public:
	string longestPalindrome(string s) {
		int len = s.length();
		int dp[1000][1000] = { 0 };
		int max = 0, left = 0, right = 0;
		for (int i = 0; i<len; i++)
		{
			for (int j = 0; j<i; j++)
			{
				if(i == j)
				    dp[j][i] = 1;
				else if(i == j+1)
				    dp[j][i] = s[j] == s[i] ? 1 : 0;
				else
				    dp[j][i] = dp[j+1][i-1] && s[i] == s[j];
				if (dp[j][i] && max < i - j + 1)
				{
					max = i - j + 1;
					left = j;
					right = i;
				}
			}
			dp[i][i] = 1;
		}
		return s.substr(left, right - left + 1);
	}
};

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n^2)。

• 空间复杂度：O(n)。

最后要来的就是大名鼎鼎的马拉车算法Manacher's Algorithm，这个算法的神奇之处在于将时间复杂度提升到了O(n)这种逆天的地步，而算法本身也设计的很巧妙，很值得我们掌握，参见我另一篇专门介绍马拉车算法的博客Manacher's Algorithm 马拉车算法。