阶乘模大质数

前言

现在才学这个的我可以说是很菜了。

多项式除法

给出一个$n$次多项式$F(x)$和一个$m$次多项式$G(x)$，求一个$n-m$次多项式$Q(x)$和一个次数小于$m$的多项式$R(x)$，使得$$F(x)=Q(x)G(x)+R(x)$$

首先对于一个$n$次多项式$F(x)$，设$G(x)=x^{n}F(\frac{1}{x})$，可以发现$G(x)$就相当于把$F(x)$的系数反转得到的一个多项式，不妨设$G(x)=F^T(x)$。
考虑把等式变成这样一个形式：$$x^{n}F(\frac{1}{x})=x^{n-m}Q(\frac{1}{x})x^{m}G(\frac{1}{x})+x^{n}R(\frac{1}{x})$$
也就是$$F^T(x)=Q^T(x)G^T(x)+x^{n}R(\frac{1}{x})$$
由于$R(x)$次数小于$m$，所以$x^{n}R(\frac{1}{x})$不大于$n-m$次项的系数都为$0$，所以在模$x^{n-m+1}$意义下就有$$F^T(x)=Q^T(x)G^T(x)(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{x}^{n-m+1})$$
于是有