前言
现在才学这个的我可以说是很菜了。
多项式除法
给出一个nnn次多项式F(x)F(x)F(x)和一个mmm次多项式G(x)G(x)G(x),求一个n−mn-mn−m次多项式Q(x)Q(x)Q(x)和一个次数小于mmm的多项式R(x)R(x)R(x),使得F(x)=Q(x)G(x)+R(x)F(x)=Q(x)G(x)+R(x)F(x)=Q(x)G(x)+R(x)
首先对于一个nnn次多项式F(x)F(x)F(x),设G(x)=xnF(1x)G(x)=x^nF(\frac{1}{x})G(x)=xnF(x1),可以发现G(x)G(x)G(x)就相当于把F(x)F(x)F(x)的系数反转得到的一个多项式,不妨设G(x)=FT(x)G(x)=F^T(x)G(x)=FT(x)。
考虑把等式变成这样一个形式:xnF(1x)=xn−mQ(1x)xmG(1x)+xnR(1x)x^nF(\frac{1}{x})=x^{n-m}Q(\frac{1}{x})x^mG(\frac{1}{x})+x^nR(\frac{1}{x})xnF(x1)=xn−mQ(x1)xmG(x1)+xnR(x1)
也就是FT(x)=QT(x)GT(x)+xnR(1x)F^T(x)=Q^T(x)G^T(x)+x^nR(\frac{1}{x})FT(x)=QT(x)GT(x)+xnR(x1)
由于R(x)R(x)R(x)次数小于mmm,所以xnR(1x)x^nR(\frac{1}{x})xnR(x1)不大于n−mn-mn−m次项的系数都为000,所以在模xn−m+1x^{n-m+1}xn−m+1意义下就有FT(x)=QT(x)GT(x)(modxn−m+1)F^T(x)=Q^T(x)G^T(x)\pmod{x^{n-m+1}}FT(x)=QT(x)GT(x)(modxn−m+1)
于是有