NOIP2018 保卫王国 动态dp

题意

有一棵n个点的树，在每个点上放士兵都有一个花费a[i]，要求每相邻的两个点之间至少有一个点要放士兵。有m个询问，每个询问会固定两个点的选择，然后问最小花费。
$n,m\le 10^5$

分析

设$f_{i,0/1}$表示以$i$为根的子树，$i$放或不放士兵的最小花费。
考虑一条链要怎么做。
显然有
$$\begin{gathered} f_{i,0}=f_{i-1,1} \\ {f}_{i,1}=a_i+min(f_{i-1,0},f_{i-1,1}) \end{gathered}$$
写成矩阵形式就是
$$\left[\begin{array}{cc}\infty & 0\\ a_i& a_i\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{f}_{i-1,0}\\ f_{i-1,1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{f}_{i,0}\\ f_{i,1}\end{array}\right]$$
其中乘运算定义为加法，加运算定义为取min。然后就可以用线段树来维护。
现在拓展到树上，设
$$\begin{gathered} A_u=\sum _{v是u的轻儿子}{f}_{v,1} \\ {B}_u=a_u+\sum _{v是u的轻儿子}min(f_{v,0},f_{v,1}) \end{gathered}$$
把转移写成矩阵形式就是
$$\left[\begin{array}{cc}\infty & A_u\\ B_u& B_u\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{f}_{mson,0}\\ f_{mson,1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{f}_{u,0}\\ f_{u,1}\end{array}\right]$$
这样一条重链顶点的dp值就是这条重链上所有矩阵的乘积。
用树剖+线段树维护即可，也可以用LCT去掉一个log。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ls d<<1
#define rs d<<1|1

typedef long long LL;

const int N=100005;
const LL inf=(LL)1e15;

int n,m,a[N],last[N],cnt,top[N],size[N],dep[N],fa[N],bel[N],id[N],pos[N],tim,mx[N];
LL f[N][2],mat[N*4][2][2],Ans[2][2],tmp[2][2],A[N],B[N];
char ty[5];
struct edge{int to,next;}e[N*2];

void addedge(int u,int v)
{
	e[++cnt].to=v;e[cnt].next=last[u];last[u]=cnt;
	e[++cnt].to=u;e[cnt].next=last[v];last[v]=cnt;
}

void dfs1(int x)
{
	dep[x]=dep[fa[x]]+1;size[x]=1;f[x][1]=a[x];
	for (int i=last[x];i;i=e[i].next)
	{
		if (e[i].to==fa[x]) continue;
		fa[e[i].to]=x;
		dfs1(e[i].to);
		size[x]+=size[e[i].to];
		f[x][0]+=f[e[i].to][1];
		f[x][1]+=std::min(f[e[i].to][0],f[e[i].to][1]);
	}
}

void dfs2(int x,int chain)
{
	top[x]=chain;pos[x]=mx[x]=++tim;id[tim]=x;int k=0;
	B[x]=a[x];
	for (int i=last[x];i;i=e[i].next)
		if (e[i].to!=fa[x]&&size[e[i].to]>size[k]) k=e[i].to;
	if (!k) return;
	dfs2(k,chain);
	mx[x]=mx[k];
	for (int i=last[x];i;i=e[i].next)
		if (e[i].to!=fa[x]&&e[i].to!=k)
		{
			dfs2(e[i].to,e[i].to);
			A[x]+=f[e[i].to][1];
			B[x]+=std::min(f[e[i].to][0],f[e[i].to][1]);
		}
}

void updata(int d)
{
	mat[d][0][0]=mat[d][0][1]=mat[d][1][0]=mat[d][1][1]=inf;
	for (int i=0;i<2;i++)
		for (int k=0;k<2;k++)
			for (int j=0;j<2;j++)
				mat[d][i][j]=std::min(mat[d][i][j],mat[ls][i][k]+mat[rs][k][j]);
}

void build(int d,int l,int r)
{
	if (l==r)
	{
		bel[id[l]]=d;
		mat[d][0][0]=inf;
		mat[d][0][1]=A[id[l]];
		mat[d][1][0]=mat[d][1][1]=B[id[l]];
		return;
	}
	int mid=(l+r)/2;
	build(ls,l,mid);build(rs,mid+1,r);
	updata(d);
}

void modify(int d,int l,int r,int x)
{
	if (l==r) return;
	int mid=(l+r)/2;
	if (x<=mid) modify(ls,l,mid,x);
	else modify(rs,mid+1,r,x);
	updata(d);
}

void query(int d,int l,int r,int x,int y)
{
	if (x<=l&&r<=y)
	{
		tmp[0][0]=tmp[0][1]=tmp[1][0]=tmp[1][1]=inf;
		for (int i=0;i<2;i++)
			for (int k=0;k<2;k++)
				for (int j=0;j<2;j++)
					tmp[i][j]=std::min(tmp[i][j],Ans[i][k]+mat[d][k][j]);
		for (int i=0;i<2;i++)
			for (int j=0;j<2;j++)
				Ans[i][j]=tmp[i][j];
		return;
	}
	int mid=(l+r)/2;
	if (x<=mid) query(ls,l,mid,x,y);
	if (y>mid) query(rs,mid+1,r,x,y);
}

void modify(int x,int ty)
{
	if (ty==-1) mat[bel[x]][0][0]=inf,mat[bel[x]][0][1]=A[x],mat[bel[x]][1][0]=mat[bel[x]][1][1]=B[x];
	else if (ty==0) mat[bel[x]][0][0]=mat[bel[x]][1][0]=mat[bel[x]][1][1]=inf,mat[bel[x]][0][1]=A[x];
	else mat[bel[x]][0][0]=mat[bel[x]][0][1]=inf,mat[bel[x]][1][0]=mat[bel[x]][1][1]=B[x];
	modify(1,1,n,pos[x]);
	while (x)
	{
		x=top[x];
		Ans[0][1]=Ans[1][0]=inf;
		Ans[0][0]=Ans[1][1]=0;
		query(1,1,n,pos[x],mx[x]);
		LL p0=f[x][0],p1=f[x][1];
		f[x][0]=std::min(Ans[0][0],Ans[0][1]);
		f[x][1]=std::min(Ans[1][0],Ans[1][1]);
		if (x==1) break;
		int y=fa[x];
		mat[bel[y]][0][1]=(A[y]+=f[x][1]-p1);
		mat[bel[y]][1][0]=mat[bel[y]][1][1]=(B[y]+=std::min(f[x][0],f[x][1])-std::min(p0,p1));
		modify(1,1,n,pos[y]);
		x=y;
	}
}

int main()
{
	scanf("%d%d%s",&n,&m,ty);
	for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
	for (int i=1;i<n;i++)
	{
		int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);
		addedge(x,y);
	}
	dfs1(1);
	dfs2(1,1);
	build(1,1,n);
	while (m--)
	{
		int x,t1,y,t2;scanf("%d%d%d%d",&x,&t1,&y,&t2);
		if (dep[x]<dep[y]) std::swap(x,y),std::swap(t1,t2);
		modify(x,t1);modify(y,t2);
		if (std::min(f[1][0],f[1][1])>=inf) puts("-1");
		else printf("%lld\n",std::min(f[1][0],f[1][1]));
		modify(x,-1);modify(y,-1);
	}
	return 0;
}