LibreOJ #2542.「PKUWC2018」随机游走 min-max容斥+树上高斯消元

最新推荐文章于 2025-06-16 19:35:07 发布

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本文介绍了一种利用树形动态规划方法求解在特定树结构中从起点出发遍历指定点集的期望步数的问题。通过将问题转换为求解到达点集中任一点即停止的期望步数，并采用树形DP进行高效求解。

题意

有一棵n个点的树，现在确定一个起点s，每次会从当前点随机选择一条相邻的边走过去。有q次询问，每次询问会给出一个点集，问如果在把点集中的每个点都至少遍历一遍后停止，期望要走的步数是多少。
$n\le18$

分析

首先min-max容斥一下，那么问题就变成了对于每个点集，若在到达了点集中的任意一个点就停止，则期望步数是多少。
考虑dp，设 $f_{x,s}$ 表示从 $x$ 开始走，然后点集为 $s$ 的期望步数。
比较暴力的做法就是高斯消元，但注意到这是一棵树，那么就可以通过树形dp来消元。
具体来说就是把 $f_{x,s}$ 表示成 $k*f_{fa_x,s}+b$ 的形式，然后从下往上递推，如果现在知道了所有儿子的 $k,b$ ，就很容易得到当前点的 $k,b$ ，而根节点的 $k=0$ ，所以可以通过一遍dfs直接得出答案。
最后预处理一下前缀和然后 $O(1)$ 询问即可。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>

typedef long long LL;

const int N=20;
const int MOD=998244353;

int n,q,s,cnt,last[N],k[N],b[N],bin[N],f[1000005],deg[N];
bool vis[N];
struct edge{int to,next;}e[N*2];

int ksm(int x,int y)
{
    int ans=1;
    while (y)
    {
        if (y&1) ans=(LL)ans*x%MOD;
        x=(LL)x*x%MOD;y>>=1;
    }
    return ans;
}

void addedge(int u,int v)
{
    e[++cnt].to=v;e[cnt].next=last[u];last[u]=cnt;
    e[++cnt].to=u;e[cnt].next=last[v];last[v]=cnt;
}

void dfs(int x,int fa)
{
    if (vis[x]) {k[x]=b[x]=0;return;}
    int ny=ksm(deg[x],MOD-2);
    k[x]=ny;b[x]=1;
    int c=1;
    for (int i=last[x];i;i=e[i].next)
    {
        if (e[i].to==fa) continue;
        dfs(e[i].to,x);
        (c+=MOD-(LL)k[e[i].to]*ny%MOD)%=MOD;
        (b[x]+=(LL)b[e[i].to]*ny%MOD)%=MOD;
    }
    c=ksm(c,MOD-2);
    k[x]=(LL)k[x]*c%MOD;b[x]=(LL)b[x]*c%MOD;
}

int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&q,&s);
    bin[0]=1;
    for (int i=1;i<=n;i++) bin[i]=bin[i-1]*2;
    for (int i=1;i<n;i++)
    {
        int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);
        deg[x]++;deg[y]++;
        addedge(x,y);
    }
    for (int i=1;i<bin[n];i++)
    {
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        for (int j=1;j<=n;j++)
            if (i&bin[j-1]) vis[j]=1;
        dfs(s,0);
        f[i]=b[s];
    }
    for (int i=0;i<n;i++)
        for (int j=0;j<bin[n];j++)
            if (j&bin[i]) (f[j]+=MOD-f[j^bin[i]])%=MOD;
    while (q--)
    {
        int tot,t=0;scanf("%d",&tot);
        for (int i=1;i<=tot;i++)
        {
            int x;scanf("%d",&x);
            t|=bin[x-1];
        }
        if (tot&1) printf("%d\n",f[t]);
        else printf("%d\n",(MOD-f[t])%MOD);
    }
    return 0;
}