51nod 1020 逆序排列

1020 逆序排列
基准时间限制：2 秒 空间限制：131072 KB 分值: 80 难度：5级算法题 收藏 关注
在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。
如2 4 3 1中，2 1，4 3，4 1，3 1是逆序，逆序数是4。

1-n的全排列中，逆序数最小为0（正序），最大为n*(n-1) / 2（倒序）
给出2个数n和k，求1-n的全排列中，逆序数为k的排列有多少种？
例如：n = 4 k = 3。

1 2 3 4的排列中逆序为3的共有6个，分别是：
1 4 3 2
2 3 4 1
2 4 1 3
3 1 4 2
3 2 1 4
4 1 2 3

由于逆序排列的数量非常大，因此只需计算并输出该数 Mod 10^9 + 7的结果就可以了。
Input
第1行：一个数T，表示后面用作输入测试的数的数量。（1 <= T <= 10000)
第2 - T + 1行：每行2个数n，k。中间用空格分隔。（2 <= n <= 1000, 0 <= k <= 20000)
Output
共T行，对应逆序排列的数量 Mod (10^9 + 7)
Input示例
1
4 3
Output示例
6

https://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1020
这个dp = = 嗯
比较给力
dp[n][k]表示n个数，逆序数为k的个数。考虑从n-1个数里面递推，就是将n放到哪一个位置，放到第i个位置就会增加n-i个逆序数。所以可知，
dp[n][k]=sum(dp[n-1][k-i]) 0<=i<=n

这个特别像一个概率中的 一种插入的方法 = =
然后 - - 就是那么神奇= =
一个一个的叠上去 就是所求的结果
数学题

首先是超时的代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
int dp[1005][20005];
const int mod=1000000007;
int main()
{
    for(int i=0;i<=1000;i++)
        dp[i][0]=1;


    for(int i=2;i<=1000;i++)
    {
        for(int j=1;j<=i*(i-1)/2;j++)
        {
            for(int k=0;k<i;k++)
            {
                dp[i][j]+=dp[i-1][j-k];
                dp[i][j]%=mod;
            }
        }
    }
    cout<<'z'<<endl;
    int t;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        int x,y;
        cin>>x>>y;
        cout<<dp[x][y]<<endl;
    }
}

然后数学公式优化
设f(n,k)表示n个数的排列中逆序数个数为k的排列数。

最大的数n可能会排在第n-i位，从而产生i个与n有关的逆序对，去掉n之后，
剩下的n-1个数的排列有k-i个逆序对。所以，f(n,k)=求和(f(n-1，k-i))(0<=i<n)。

同理有f(n,k-1)=求和(f(n-1，k-1-i))  (0<=i<n)。

两式相减，可得f(n,k)-f(n,k-1)=f(n-1,k)-f(n-1,k-n)。

递推公式为f(n,k)=f(n,k-1)+f(n-1,k)-f(n-1,k-n)。

然后动态规划可得。

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstdio>
using namespace std;
int dp[1005][20005];
const int mod=1000000007;
int main()
{
    for(int i=0;i<=1000;i++)
        dp[i][0]=1;


    for(int i=2;i<=1000;i++)
    {
        for (int j = 1; j <= i * (i - 1) / 2 && j <= 20000; j++)
        {
            dp[i][j] = (dp[i][j - 1] + dp[i - 1][j]) % mod;
            if(j>=i)dp[i][j] -= dp[i - 1][j - i];
            dp[i][j] = (dp[i][j] % mod + mod) % mod;
        }
    }
    //cout<<'z'<<endl;
    int t;int x,y;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d%d",&x,&y);
        cout<<dp[x][y]<<endl;
    }
}