51nod 1020 逆序排列【Dp+思维递推优化】好题!好题!好题!

本文介绍了一种通过动态规划算法解决逆序排列计数问题的方法,即计算在1至n的全排列中逆序数为k的排列数量,并提供了一个有效的实现方案。

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基准时间限制:2 秒 空间限制:131072 KB 分值: 80  难度:5级算法题

在一个排列中,如果一对数的前后位置与大小顺序相反,即前面的数大于后面的数,那么它们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。
如2 4 3 1中,2 1,4 3,4 1,3 1是逆序,逆序数是4。

1-n的全排列中,逆序数最小为0(正序),最大为n*(n-1) / 2(倒序)
给出2个数n和k,求1-n的全排列中,逆序数为k的排列有多少种?
例如:n = 4 k = 3。

1 2 3 4的排列中逆序为3的共有6个,分别是:
1 4 3 2
2 3 4 1
2 4 1 3
3 1 4 2
3 2 1 4
4 1 2 3

由于逆序排列的数量非常大,因此只需计算并输出该数 Mod 10^9 + 7的结果就可以了。
Input
第1行:一个数T,表示后面用作输入测试的数的数量。(1 <= T <= 10000)
第2 - T + 1行:每行2个数n,k。中间用空格分隔。(2 <= n <= 1000, 0 <= k <= 20000)
Output
共T行,对应逆序排列的数量 Mod (10^9 + 7)
Input示例
1
4 3
Output示例
6


思路:(思路源自:http://m.blog.youkuaiyun.com/article/details?id=50351716)


1、统计方案数问题,考虑dp:设定dp【n】【k】表示1~n全排列逆序数为N的方案数。

那么从长度为N的数组递推到长度为N+1的数组的时候,我们只要考虑第N+1个数放在哪里即可。

那么就有:

dp【n】【k】=Σdp【n-1】【k-i】(0<=i<=n-1)


2、然而考虑到直接dp转移暴力搞时间复杂度会很高,那么我们可以用前缀和来优化,也可以加以思维优化(卧槽这博主的写法好强壮啊:http://m.blog.youkuaiyun.com/article/details?id=50351716):

①dp【n】【k】=Σdp【n-1】【k-i】(0<=i<=n-1)

②dp【n】【k-1】=Σdp【n-1】【k-1-i】(0<=i<=n-1)

③用①减去②得到:dp【n】【k】-dp【n】【k-1】=dp【n-1】【k】-dp【n-i】【k-n】;

④那么就有:dp【n】【k】=dp【n】【k-1】+dp【n-1】【k】-dp【n-i】【k-n】;

因为等式右边的所有项都是在dp【n】【k】求出来之前就能求出来的,所以等式成立。


好题啊!!!!

时间复杂度O(nk)


Ac代码:

#include<stdio.h>
#include<string.h>
using namespace std;
#define mod 1000000007
int dp[1005][20050];
void init()
{
    for(int i=1;i<1002;i++)
    {
        dp[i][0]=1;
        for(int j=1;j<=(i*(i-1))/2&&j<=20000;j++)
        {
            int tmp1=0,tmp2=0,tmp3=0;
            tmp1=dp[i-1][j];
            tmp2=dp[i][j-1];
            if(j-i>=0)tmp3=dp[i-1][j-i];
            dp[i][j]=((tmp1+tmp2-tmp3)%mod+mod)%mod;
        }
    }
}
int main()
{
    init();
    int n,m;
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        printf("%d\n",(dp[n][m]+mod)%mod);
    }
}




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