51nod 1020 逆序排列【Dp+思维递推优化】好题！好题！好题！

最新推荐文章于 2020-03-09 21:14:49 发布

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#51nod 1020

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本文介绍了一种通过动态规划算法解决逆序排列计数问题的方法，即计算在1至n的全排列中逆序数为k的排列数量，并提供了一个有效的实现方案。

1020 逆序排列

基准时间限制：2 秒空间限制：131072 KB 分值: 80 难度：5级算法题

在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。

如2 4 3 1中，2 1，4 3，4 1，3 1是逆序，逆序数是4。

1-n的全排列中，逆序数最小为0（正序），最大为n*(n-1) / 2（倒序）

给出2个数n和k，求1-n的全排列中，逆序数为k的排列有多少种？

例如：n = 4 k = 3。

1 2 3 4的排列中逆序为3的共有6个，分别是：

1 4 3 2

2 3 4 1

2 4 1 3

3 1 4 2

3 2 1 4

4 1 2 3

由于逆序排列的数量非常大，因此只需计算并输出该数 Mod 10^9 + 7的结果就可以了。

Input

第1行：一个数T，表示后面用作输入测试的数的数量。（1 <= T <= 10000)
第2 - T + 1行：每行2个数n，k。中间用空格分隔。（2 <= n <= 1000, 0 <= k <= 20000)

Output

共T行，对应逆序排列的数量 Mod (10^9 + 7)

Input示例

1
4 3

Output示例

思路：（思路源自：http://m.blog.youkuaiyun.com/article/details?id=50351716）

1、统计方案数问题，考虑dp：设定dp【n】【k】表示1~n全排列逆序数为N的方案数。

那么从长度为N的数组递推到长度为N+1的数组的时候，我们只要考虑第N+1个数放在哪里即可。

那么就有：

dp【n】【k】=Σdp【n-1】【k-i】（0<=i<=n-1）

2、然而考虑到直接dp转移暴力搞时间复杂度会很高，那么我们可以用前缀和来优化，也可以加以思维优化（卧槽这博主的写法好强壮啊：http://m.blog.youkuaiyun.com/article/details?id=50351716）：

①dp【n】【k】=Σdp【n-1】【k-i】（0<=i<=n-1）

②dp【n】【k-1】=Σdp【n-1】【k-1-i】（0<=i<=n-1）

③用①减去②得到：dp【n】【k】-dp【n】【k-1】=dp【n-1】【k】-dp【n-i】【k-n】；

④那么就有：dp【n】【k】=dp【n】【k-1】+dp【n-1】【k】-dp【n-i】【k-n】；

因为等式右边的所有项都是在dp【n】【k】求出来之前就能求出来的，所以等式成立。

好题啊！！！！

时间复杂度O（nk）

Ac代码：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
using namespace std;
#define mod 1000000007
int dp[1005][20050];
void init()
{
    for(int i=1;i<1002;i++)
    {
        dp[i][0]=1;
        for(int j=1;j<=(i*(i-1))/2&&j<=20000;j++)
        {
            int tmp1=0,tmp2=0,tmp3=0;
            tmp1=dp[i-1][j];
            tmp2=dp[i][j-1];
            if(j-i>=0)tmp3=dp[i-1][j-i];
            dp[i][j]=((tmp1+tmp2-tmp3)%mod+mod)%mod;
        }
    }
}
int main()
{
    init();
    int n,m;
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        printf("%d\n",(dp[n][m]+mod)%mod);
    }
}