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数论-莫比乌斯反演

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本文详细介绍了一种利用数论中的艾弗森约定与莫比乌斯函数进行数学问题求解的方法，并给出了具体的C++代码实现，展示了如何通过分块加速和前缀和等技术优化算法效率。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

把原式里的艾弗森约定用莫比乌斯函数展开:

f (n) = \sum i = 1 n \sum j = 1 i ⌈ i j ⌉ [(i, j) = 1] = \sum i = 1 n \sum j = 1 i ⌈ i j ⌉ \sum d | (i, j) μ (d)

$f(n) = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{i}\lceil\frac{i}{j}\rceil[(i,j)=1] = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{i}\lceil\frac{i}{j}\rceil\sum_{d|(i,j)}\mu(d)$
令:

i = k 1 * d, j = k 2 * d, g (n) = \sum i = 1 n ⌈ i j ⌉, h (n) = \sum i = 1 n g (n)

$i = k_1*d, j = k_2*d, g(n) = \sum_{i=1}^{n}\lceil\frac{i}{j}\rceil, h(n) =\sum_{i=1}^{n}g(n)$
则:

f (n) = \sum d = 1 n μ (d) \sum k 1 = 1 n / d \sum k 2 k 1 ⌈ k 1 k 2 ⌉ = \sum d = 1 n μ (d) \sum k 1 = 1 n / d g (k 1) = \sum d = 1 n μ (d) h (n / d)

$f(n)=\sum_{d=1}^{n}\mu(d)\sum_{k_1=1}^{n/d}\sum_{k_2}^{k_1}\lceil\frac{k_1}{k_2}\rceil = \sum_{d=1}^{n}\mu(d)\sum_{k_1=1}^{n/d}g(k_1)= \sum_{d=1}^{n}\mu(d)h(n/d)$

g(n) $g(n)$ 用分块加速求出，

h(n) $h(n)$ 用前缀和求出，

f(n) $f(n)$ 也用分块加速求出。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int N = 1e6+5;
const LL MOD = 1e9+7;

bool prime[N];
int p[N];
LL g[N], mu[N];

void init() {
    for(int i = 2; i < N; i++) prime[i] = 1;
    int k = 0;
    mu[1] = 1;
    for(int i = 2; i < N; i++) {
        if(prime[i]) { p[k++] = i; mu[i] = -1;}
        for(int j = 0; j<k && i*p[j]<N; j++) {
            prime[i*p[j]] = 0;
            if(i%p[j] == 0) { mu[i*p[j]] = 0; break; }
            mu[i*p[j]] = -mu[i];
        }
    }
    for(int i = 1; i < N-1; i++) {
        g[i]++, g[i+1]--;
        for(int j = 2; ; j++) {
            int R = i*j, L = i*(j-1)+1;
            if(R > N) R = N-2;
            g[L] = (g[L]+j)%MOD; g[R+1] = (g[R+1]-j+MOD)%MOD;
            if(R == N-2) break;
        }
    }
    for(int i = 1; i < N; i++) (g[i] += g[i-1]+MOD)%=MOD;
    for(int i = 1; i < N; i++) (g[i] += g[i-1]+MOD)%=MOD, (mu[i] += mu[i-1]+MOD)%=MOD;
}

int main() {
    init();
    int n;
    while(~scanf("%d", &n)) {
        LL ans = 0;
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            int j = n/(n/i);
            (ans += (mu[j]-mu[i-1]+MOD)%MOD*g[n/i]%MOD)%=MOD;
            i = j;
        }
        printf("%lld\n", ans);
    }
    return 0;
}