【DP】Gym100524E Ebola Virus

最新推荐文章于 2020-10-12 13:33:35 发布

Toooooocold

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分类专栏：动态规划---------------------

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这是一道关于优化路径以最小化损失的问题，来源于2014-2015年夏令营的Andrew Stankevich竞赛。村庄中如果未治疗，每日会有特定人数死亡。从第一个村庄开始，需要决定前行、后退或治疗村庄以减少总死亡人数，且受到已路过未治疗村庄的行动限制。解决方案采用动态规划（DP）来确定在某一点出发，前进到另一点并返回原点所需的最小花费。通过将后续村庄的影响归因于当前村庄，可以计算每个村庄的最优贡献，从而找到全局最优解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Souce:2014-2015 Summer Petrozavodsk Camp, Andrew Stankevich Contest 46 (ASC 46)
Problem:
n个村庄，如果第i个村庄没有被治疗，每天会死掉a[i]个人。现在起始在第一个村庄，每次选择花费一天的时间往前走/往后走/治疗当前村庄，使得总共死去的人数最少。
但行动有个限制，如果你的前进方向上有一个曾经被路过但没有被治疗的村庄，那么直到这个村庄被治疗之前，你都不能改变你的方向，并且当你经过这个村庄时，必须治疗他。
Idea:
$d p [l] [r]$ 表示当前在l点，一直前进到 $r$ 点再折回到l点所需要的最小花费。答案一定是由数个区间拼接而成的。
对于 $l$ 和 $r$ 都固定时，在治疗村庄时 $i$ ，把后面所有村庄的贡献都归到 $i$ 身上，那么可以得到 $i$ 点的贡献为 $m i n ((i - l) * a [i] + s [r] - s [i], (3 * r - 2 * i - l) * a [i])$ 。
注意到抠出式子中的 $- l * a [i]$ 可以使DP优化到 $O(N^2)$
Code:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define I inline
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define ALL(X) (X).begin(), (X).end()
#define CLR(A, X) memset(A, X, sizeof(A))
#define bcnt(X) __builtin_popcountll(X)
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;

const int N = 3e3+10;

LL a[N], s[N], dp[N][N], f[N];

I void work() {
    int n; scanf("%d", &n);
    if(!n) exit(0);
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%lld", a+i);
        s[i] = s[i-1]+a[i];
        f[i] = 1e18;
    }
    for(int r = 1; r <= n; r++) {
        for(int l = r; l >= 1; l--) {
            dp[l][r] = dp[l+1][r]+min(l*a[l]+s[r]-s[l], (3*r-2*l)*a[l]);
            LL tmp = dp[l][r]-l*(s[r]-s[l-1])+(4*(r-l)+2)*(s[n]-s[r]);
            f[r] = min(f[r], f[l-1]+tmp);
        }
    }
    printf("%lld\n", f[n]);
}

int main() {
    if(fopen("ebola.in", "r")) {
        freopen("ebola.in", "r", stdin);
        freopen("ebola.out", "w", stdout);
    }
    for(;;) work();
    return 0;
}