模逆（3.扩展欧几里德算法）

一.扩展欧几里德算法

由裴蜀定理已知，若a,b是整数,且gcd(a,b)=d，那么一定存在整数x,y，使ax+by=d成立。
这样就带来了一个问题如何求解gcd(a,b)=ax+by中的x和y值？ 我们这里使用扩展欧几里得算法来求解
x和y值。

1.1 扩展欧几里德算法求解裴蜀定理

在欧几里得算法里，递归部分的核心是这样的： gcd（a，b) = gcd(b ,a mod b), 我们将由此得出x，y相关的递归关系。

由裴蜀定理可知：

（1）gcd（a，b)=ax+by
（2）gcd（b，a mod b)=bx’+(a mod b)y’

其中 a mod b = a - [a/b] * b , 所以（2）式 变为 gcd（b，a mod b)=bx’+( a - [a/b] * b ) * y’

gcd（b，a mod b)=bx’+( a - [a/b] * b ) * y’ 整理得 gcd(b,a mod b) = a * y’+ b * (x’- y’ * [a/b])
此时（1）、（2）式变为如下所示：

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