[FZU 2020] 组合 扩展欧几里得 求模逆元

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Problem Description

给出组合数C(n,m), 表示从n个元素中选出m个元素的方案数。例如C(5,2) = 10, C(4,2) = 6.可是当n,m比较大的时候，C(n,m)很大！于是xiaobo希望你输出 C(n,m) mod p的值！

Input

输入数据第一行是一个正整数T,表示数据组数 (T <= 100) 接下来是T组数据，每组数据有3个正整数 n, m, p (1 <= m <= n <= 10^9, m <= 10^4, m < p < 10^9, p是素数)  

Output

对于每组数据，输出一个正整数，表示C(n,m) mod p的结果。

Sample Input

2

5 2 3

5 2 61 

Sample Output

1 

10 

这道题有很多方法可做，我选的是相对来说最简单的一种——扩展欧几里得求逆元。刚拿到题目时我想的是直接用lucas定理的模板来做。可是我们观察数据范围，可以发现n和p非常大，但m非常小。再考虑到组合数的公式：C(n,m)=n!/m!(n-m)!。如果直接把n!/(n-m)!合并以后再除以m!，就可以做到分式上下都只有m个数，于是直接枚举n-m+1到n，每个数累乘起来模mod，再枚举1到m，每个数在模mod下的逆元累乘起来模mod，于是我们就得到了最终的答案！

AC代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define ll long long
using namespace std;
int t;
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){  
    ll d;  
    if(b){d=exgcd(b,a%b,y,x);y-=a/b*x;return d;}  
    x=1;y=0;return a;  
}  
ll inv(ll x,ll mod){
    ll anx,any;exgcd(x,mod,anx,any);return (anx+mod)%mod;  
}  
void work(){
	ll n,m,p,ans1=1,ans2=1;
	cin>>n>>m>>p;
	for(ll i=n-m+1;i<=n;i++){
		ans1=ans1*i;ans1=ans1%p;
	}
	for(ll i=2;i<=m;i++){
		ans2=ans2*i;ans2=ans2%p;
	}
	printf("%lld\n",ans1*inv(ans2,p)%p);
}
int main(){
	cin>>t;
	while(t--){
		work();
	}
	return 0;
}