模逆（1.欧几里得算法）

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分类专栏：算法文章标签：安全

于 2022-07-09 15:42:24 首次发布

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欧几里得算法，又称碾转相除法，是求解最大公约数的高效方法。本文介绍了算法的基本公式、证明过程，并通过实例与代码实现详细阐述了如何使用该算法。

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一、欧几里得算法

欧几里得算法也称碾转相除法，是目前已知求最大公约数得最快通用方法，具有代码复杂度低、易理解、用途广众多优点。

1.1 欧几里得算法的基本公式

                 gcd（a，b）=  gcd（b，a mod b）

其中gcd表示得是最大公约数的意思，比如 gcd(4,8)=4
mod是取模的意思，算法同取余类似，7mod3=1，即 1=7-2*3

1.2 欧几里得算法的证明

              假设gcd(a,b)=r（即a和b的最大公约数为r）                         
            
              ——>存在x、y使  a=x*r，b=y*r，其中x、y互质           
              
              假设c=a mod b  ， 存在d使 c=a-d*b                                                                                
               
               ——>c=a mod b  =a-d*b=x*r-d*y*r=（x-d*y）r

               ——>又因为b=y*r，由欧几里得算法的基本公式  gcd（a，b）=  gcd（b，a mod b）
             
               ——>可知  y  与（x-d*y）互质
          
      证明：
              
               ——>假设y与（x-d*y）不互质 
               
               ——>存在n、m使y=n*k，（x-d*y）=m*k，且k>1(互质k为1)