试题 算法训练 数的潜能 简单的数学推导

试题 算法训练 数的潜能

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问题描述

将一个数N分为多个正整数之和，即N=$a_1+a_2+a_3+\dots +a_k$，定义$M=a_1\ast a_2\ast a_3\ast \dots \ast a_k$为N的潜能。
　　给定N，求它的潜能M。
　　由于M可能过大，只需求M对5218取模的余数。

输入格式

输入共一行，为一个正整数N。

输出格式

输出共一行，为N的潜能M对5218取模的余数。

样例输入

10

样例输出

36

数据规模和约定

$1<=N<10^{18}$

题解

分析一下题目的意思,其实就是要求我们把一个数N分成任意个正整数,使得这些数的积最大

这道题,leetcode也有相同的题目:

343.整数拆分

首先,我们根据高中基本不等式的知识:$a+b>=2\sqrt{ab}$

通过一系列推导可以得出:$n_1+n_2+n_3+...+n_i>=i\sqrt[i]{n_1{n}_2{n}_3...n_i}$(当且仅当$n_1=n_2=n_3=.....=n_i$时等号成立)

(具体推导过程我忘了,好像是根柯西不等式什么的有关系的,太久了遗忘了…)

由上面的式子我们又可以推导出:

$n_1{n}_2{n}_3...n_i<=(\frac{n_1+n_2+n_3+...+n_i}{i}{)}^i=(\frac{n}{i}{)}^i$

那么我们现在肯定要先把$(\frac{n}{i}{)}^i$的最大值求出来,当然,变量应该是$i$,也就就是我们要求出分多少份时,能够使$(\frac{n}{i}{)}^i$值最大,那我们就求个导?
$$\begin{gathered} 令f(i)=(\frac{n}{i}{)}^i \\ 则f^{\prime }(i)=\frac{df(i)}{di}=-(\frac{n}{i}{)}^i\frac{n}{i^2}ln(\frac{n}{i}) \end{gathered}$$
emmmm….这个导数有点难求,那我们不妨换个元,令$x=\frac{n}{i}$,此时$i=\frac{n}{x}$
$$\begin{gathered} 令y=x^{\frac{n}{x}} \\ 则lny=\frac{1}{x}lnx \\ \frac{dy}{y}=\frac{1-lnx}{x^2}dx \\ {y}^{\prime }=\frac{dy}{dx}=\frac{1-lnx}{x^2}y=\frac{1-lnx}{x^2}{x}^{\frac{n}{x}} \\ 令y^{\prime }=0,则得到驻点x_0=e \end{gathered}$$
注意一下,我们换元以后,x表示的就是使得乘机最大的均分的每个数的大小,由于是整数,我们分别取2和3比较:
$$\begin{gathered} y(2)=2^{\frac{n}{2}} \\ y(3)=3^{\frac{n}{3}} \end{gathered}$$
大致用计算器比较一下,发现取3时更大一些

综上所述,我们得出结论,当我们把每个数尽可能的取3时所得的结果是最大的,但是如果不能恰好取3,而剩余一个1的话,就把1加到最后一个3上,使其更大,剩余2的话,直接保留即可,因为我们刚刚式子中求出,最大值最优取值为3,其次未2

接下来进入算法部分

这里我们注意到数据范围为long型,于是我们想到这道题大概是要用快速幂来求解的,我们根据上面的推算,能够知道,我们现在要求的就是要把一个数分成多少个3,然后把分出来的数全部相乘,得到最后的结果

代码

package com.lanqiao.topic;

import java.util.Scanner;

/**
 * @author 王宇哲
 * @date 2022/3/10 下午10:23
 **/
public class 数的潜能 {

    /**
     * 快速幂算法
     * @param n 基底
     * @param m 幂数
     * @return n
     */
    static long quickPow(long n, long m){

        long res = 1;

        //负数幂不进行运算了
        while (m > 0){
            if((m & 1)==1){
                res *= n;
                res %= 5218;
            }

            n *= n;
            n %= 5218;
            m >>= 1;

        }

        return res;

    }

    public static void main(String[] args) {
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);

        long N = scanner.nextLong();

        //3的个数
        long num;

        long result;

        //正好能被3整除
        if(N % 3 == 0){

            //求出3的个数
            num = N/3;

            result = quickPow(3,num);

        }else if(N % 3 == 1){
            //除完以后的余数为1,把1加到其中一个3中,变为4,所以3的个数少了一个

            num = N / 3 - 1;

            result = quickPow(3,num);

            //这里没有看着的那么恐怖
            //就是说,当除出来,3的个数等于0,说明N是小于3的,那么num的值就是-1,此时根本没法按照原先的算法计算
            //说白了,就是对1这个情况进行特殊化操作了
            result = (( 1 + ((num >= 0) ? 3 : 0) ) * result) % 5218;

        }else{
            //除完以后余数为2,直接把2乘进去

            num = N/3;

            result = quickPow(3,num);

            result = (2 * result) % 5218;

        }

        System.out.println(result);

    }

}