试题 算法训练 数的潜能

问题描述

　　将一个数N分为多个正整数之和，即N=a1+a2+a3+…+ak，定义M=a1*a2*a3*…*ak为N的潜能。
　　给定N，求它的潜能M。
　　由于M可能过大，只需求M对5218取模的余数。

输入格式

　　输入共一行，为一个正整数N。

输出格式

　　输出共一行，为N的潜能M对5218取模的余数。

样例输入

10

样例输出

36

数据规模和约定

　　1<=N<10^18

这道题有两个问题需要解决。

其一，如何分解这个数。此处我枚举了10以内的分解情况：

数	分解	积
1	1	1
2	2	2
3	3	3
4	2+2	2*2=4
5	2+3	2*3=6
6	3+3	3*3=9
7	2+2+3	2*2*3=12
8	2+3+3	2*3*3=18
9	3+3+3	3*3*3=27
10	2+2+3+3	2*2*3*3=36

这里不给证明地给出观察结果，任给一个数x>1，能够分解为x=x1+x2+x3···+xn(n为整数且n≥1)的形式，当且仅当任意因子xi≠1(1≤i≤n)且有最多的因子=3时，其乘积最大。(此时因子2不多于两个）

根据上述结论，我们可以预测11=2+3+3+3，积2*3*3*3=54为最大。

因此，对于任给的n，我们整除能得到因子3的个数。为了防止因子1出现，需要对3取余，若结果为1，则“返还”一个因子3凑成两个因子2。即为解。

至此，第一个问题已经得到解决。

注意到输入规模达到了10^18的量级，如果进行暴力连乘取余，也达到10^6的量级，很可能也时难以承受的，经过测试果不其然。

因此需要考虑如何减小这一运算规模。注意到输出结果要求对5218这样一个并不是很大的数取余。根据鸽巢原理可知，在不多于5219次操作中，必然会出现循环。此处我再详细解释一下鸽巢原理的应用，假设对3的连乘和取余操作达到5218次后，所有余数都已出现恰好一次，那么下一次必然与之前发生重复。重复意味着什么呢？一旦重复，所得到的值在进行相同的若干次操作后，必然沿着原来的“轨迹”再次回到这个值。此处考虑的是最坏情况需要5219次操作，事实上，很可能在某一步骤已经重复，一旦出现环，后续的运算就不再必要了。我们只需要计算出环的长度，令操作次数对这个长度取余就可以免去不必要的运算。

要注意，出现环时不一定会回到第一个元素，换句话说，可能有一条“尾巴”，这个尾巴的长度也应该考虑在内，实际操作时，需要将操作数与尾长比较，如果小于尾长，就来不及进入环了；如果大于尾长，则应该先减去尾长再对环长取余。

虽然代码实现时，我省略掉了得出这个结果的过程，不过此处有必要将具体细节说明：

声明一个整型数组，长为5218，初始化为0，数组下标即为余数标识，声明一个整型变量初始化为0用于记录路径长。开始时，访问1号下标，如果值为0，则将其标记为当前位次，此时是0。将路径长+1，并访问下一个结点。当访问到一个结点不为0时，其下标即为尾长，而路径长-尾长+1即为环长。

实际求解时，非常巧合的是第一个元素就是循环点，换句话说，整个过程都在一个环中，没有尾部，其长度为2608。得到这个长度，整个的判环操作就完成使命了，接下来只需声明一个长度为2608的整型数组依次迭代打表即可。

接下来就很容易了，根据前面的方法得到因子3的个数，就是操作数，将其对2608取余，直接从表中读取结果，这样一来，时间复杂度已经降低为常数级了。最后还有1~2个因子2需要处理，别忘了。

代码如下：

#include <iostream>
#include <stdlib.h> 
using namespace std;
int main(void){
	long long n,s,a,b=0;
	int *m=(int*)malloc(sizeof(int)*2608);
	for(int i=0,t=1;i<2608;i++){
		m[i]=t;
		t=(t*3)%5218;
	}
	cin>>n;if(n==1)n--;
	a=n/3;
	switch(n%3){
		case 1:if(a--)b=2;break;
		case 2:b=1;
	}
	s=m[a%2608];
	for(long long i=0;i<b;i++)s=(s*2)%5218; 
	cout<<s;
	return 0;
}