AcWing 25 剪绳子

最新推荐文章于 2021-07-09 20:38:47 发布

昂昂累世士

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分类专栏：剑指Offer 文章标签：数学问题

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探讨了绳子剪裁问题的最优解法，通过数学分析得出结论：当绳子长度大于4时，将其尽可能剪成长度为3的段，可获得最大乘积。并提供了一种高效的算法实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述：

给你一根长度为 n 绳子，请把绳子剪成 m 段（m、n 都是整数，2≤n≤58 并且 m≥2）。

每段的绳子的长度记为k[0]、k[1]、……、k[m]。k[0]k[1] … k[m] 可能的最大乘积是多少？

例如当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到最大的乘积18。

样例

输入：8

输出：18

分析：

直接暴搜的话复杂度太高。对于长度为n的绳子，可剪成n1，n2，...，nm这么多段。这里有个结论，就是n大于4时，切分成绳子的长度尽可能的等于3时，这么多段绳子长度乘积最大。

显而易见，我们不希望剪成长度为1的小段，因为它对乘积并无帮助。对于基本不等式ab <= (a + b)^2 / 4，我们可以得到，分成两段的话，这两段长度相等时乘积最大。另外，尽可能分成多段等长的绳子对乘积帮助更大，比如10,5*5 < 2*2*2*2*2,。当然各段绳子长度至少要为2。由算术基本定理我们知道，任意一个数都可以分解为若干质数的乘积，所以我们尽可能的分割成质数。而对于不小于5的质数，都可以分割成更小的质数和，比如5=2+3,7=5+2.只有2和3不可再分。对于4而言，分成2*2比分成3*1好，因为我们要避免分割出长度为1的绳子，那么对于大于4的绳子，比如8,2*2*2*2=16，而3*3*2=18，可见分割成3比分割成2更具有优势。所以对于一个数3n+1，我们可以分割成n-1个3和一个4（避免1的出现）；对于3n+2，分割成n个3和一个2。

class Solution {
public:
    int maxProductAfterCutting(int length) {
        if(length <= 3) return length - 1;
        int ans = 1;
        if(length % 3 == 1){
            ans = 4;
            length -= 4;
        }
        if(length % 3 == 2){
            ans = 2;
            length -= 2;
        }
        while(length > 0){
            ans *= 3;
            length -= 3;
        }
        return ans;
    }
};