剪绳子后面的数学原理

最新推荐文章于 2021-10-07 21:25:19 发布

qiaoHaoTing

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文章标签：算法 java

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先来看一个一般性问题：
周长一定为n，这时候长length与宽width在什么情况下，达到面积s最大

s = length * width
设length = x
则：width = n/2 - x

所以 s = x * (n/2 - x)

= -x^2 + n*x/2

求导s' = -2x + n/2
s' = 0 --> 得 x = n/4
(0,n/4)区间，s'>0,S单调递增
(n/4, n)区间，s'<0,S单调递减
n/4为极大值点
所以在长度x=n/4的时候，S的面积最大
width = n/2 - x
= n/2 - n/4
= n/4
所以width = length 的时候 s最大

通过一般性问题得出当定长的时候，截出的子段长度相等的时候，乘积最大

（通用性待数学求证）
基本不等式的定理可知：算术平均数 > 几何平均数

回到本题

绳子长度为n，分成m分，那先设每分长度为x, 份数m=n/x

那么结果就是 n/x个 x 相乘 f(x)=x^(n/x)

求导：如下图
图片说明

f(2) = 2^(n/2),f(3) = 3^(n/3)

所以问题就回到了n/3的个数上面
当n能被3整除的时候，乘积=3^(n/3)
当n除3余1的时候，这时候发现多了一个1，这个1是不是很鸡肋，但是把前面的一个3拿出来，把这个一个1和前面一个3 分解为2和2，就变大了，所以乘积为 3^(n/3 - 1) * 4
当n除3余2的时候，乘积为3^(n/3) * 2

public int cutRope(int target) {

    if(target<=0) return 0;

    if(target==1 || target == 2) return 1;

    if(target==3) return 2;

    int m = target % 3;

    switch(m){

        case 0 :

            return (int) Math.pow(3, target / 3);

        case 1 :

            return (int) Math.pow(3, target / 3 - 1) * 4;

        case 2 :

            return (int) Math.pow(3, target / 3) * 2;

    }

    return 0;

}

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