数理统计与数据分析第三版习题 第3章 第42题

题目42

a.令$T$是参数为$\lambda$的指数随机变量；$W$为独立于$T$的随机变量，以概率$\frac{1}{2}$分别取值$\pm 1$; 令$X=WT$ 证明：$X$的密度为 $$f_X(x)=\frac{\lambda }{2}{e}^{-\lambda |x|}$$
b.证明:对于 某个常数$c$,$$\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-x^2/2}\le c{e}^{-|x|}$$

解题思路

a.提示：可以把事件{X&lt;x}\{X&lt;x\}{X<x} 看成是 {X&lt;x,W=1}\{X&lt;x,W=1\}{X<x,W=1}和{X&lt;x,W=−1}\{X&lt;x,W=-1\}{X<x,W=−1}的和

$$\begin{array}{rl}F(x)& =P(X\le x,W=-1)+P(X\le x,W=1)\\ & =P(WT\le x,W=-1)+P(WT\le x,W=1)\\ & =P(-T\le x,(W=-1)+P(T\le x,W=1)\\ & =\frac{1}{2}P(-T\le x)+\frac{1}{2}P(T\le x)\\ 对于x<0,P(T\le x)=0,然后& \\ P(-T\le x)& =P(T>-x)\\ & =1-P(T\le -x)\\ & =1-F(-x)\\ & =1-(1-e^{-\lambda -x})\\ & =e^{\lambda }x\\ 因此x<0时& \\ P(T\le x)& =\frac{1}{2}{e}^{\lambda x}\\ 密度函数& \\ f(x)& =F^{\prime }(x)=\frac{1}{2}\lambda e^{(}\lambda x)=\frac{1}{2}\lambda e^{(}-\lambda |x|)\\ 对于x>0，时P(T<x)=1-e^{-\lambda x}& \\ P(-T<x)& =P(T>-x)\\ & =1-P(T<-x)\\ & =1-P(T\le -x)\\ & 因为x为正数所以-x为负数,指数分布在负数上是0\\ & =1\\ F(X)=\frac{1}{2}+1-e^{-\lambda x}& \\ f(x)& =F^{\prime }(X)=\lambda e^{-\lambda |x|}\end{array}$$
b.证明对于某个常数 $c$
$$\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-x^2/2}\le c{e}^{-|x|}$$
利用上述结果和a部分结论证明如何利用拒绝方法由标准的正态生成随机变量

首先我们估计参数c
$$\begin{array}{rl}\frac{f_x(x)}{g_y(x)}& =\frac{\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-x^2/2}}{e^{-|x|}}\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{|x|-\frac{x^2}{2}}\\ 当x=1时值c取最大值& \\ c\approx 0.6577& \end{array}$$

步骤:
1.生产随机变量 $y$~$g_y(y)$
2.生产随机变量 $u$~$U(0,1)$
3.若$u\le \frac{f(x)}{cg(x)}$,则接受,X=y 否则 goto 步骤 1