中值定理2----有ξ,有a,b的题型解题的一般步骤

有$\xi ,有a,b的题型解题的一般步骤$

当遇到有 $\xi$ 和a,b的题型一般分为两种情况讨论：
1.a,b可与 $\xi$ 分离
2.a,b不能与 $\xi$ 分离

a,b可与 $\xi$ 分离的一般解题步骤

1.先将a,b与 $\xi$ 分离，a,b侧分两种形式:
$$如果a,b侧为这种形式:\frac{f(b)-f(a)}{b-a}则使用拉格朗日中值定理$$
$$如果a,b侧为这种形式:\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}则使用柯西中值定理$$
2.构造辅助函数，使非$a,b侧的\xi 还原$
3.使用拉格朗日或柯西定理与辅助函数结合得证

例题:$$\begin{gathered} f(x)\in C[0,1],在(0,1)内可导,a>0,证明\ni \xi \in (a,b). \\ f(b)-f(a)=\xi f^{\prime }(\xi )ln\frac{b}{a} \end{gathered}$$

解：
1° 先将a,b与 $\xi$ 分离
利用公式$ln\underset{a}{}$