最小生成树——Prim算法与Kruskal算法

最新推荐文章于 2020-12-09 05:42:15 发布

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分类专栏：自学文章标签：算法数据结构图

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最小生成树

一个连通图的生成树是一个极小的连通子图，包含有图中全部的顶点，但只有足以构成一棵树的n-1条边。我们把构造连通网的最小代价生成树称为最小生成树 $(M i n i m u m C o s t S p a n n i n g T r e e)$ 。

Prim算法

普里姆 $(P r i m)$ 算法是以某顶点为起点，逐步找各顶点上最小权值的边来构建最小生成树的。
算法思想：假设 $N=( V,\{E\} )$ 是连通网， $T E$ 是 $N$ 上最小生成树中边的集合。算法从 $=\{u_0\}%( u_0\in P)$ ， ${ } TE=\{\}$ 开始。重复执行下述操作：在所有 $u\in U,v\in V- U$ 的边 $(u,v)\in E$ 中找一条代价最小的边 $u_0,v_0)$ 并入集合 $T E$ ，同时 $v_0$ 并入 $U$ ，直至 $U = V$ 为止。此时 $T E$ 中必有 $n - 1$ 条边，则 $T= (V,{TE})$ 为 $N$ 的最小生成树。

Prim代码

这里我们只需要网 $G$ 的顶点与边的列表即可

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Mon Mar 25 09:18:08 2019

@author: Administrator
"""

from numpy import *
def Prim(G):
    V=G.vertices 					#例V=['A','B','C',...]
    E=G.edges_list[:] 				#例E=[['A','B',weight],...]
    V_new=[V[0]]
    E_new=[]
    a=[None,None]                   #a储存找到的点与边
    i=1 							#用于防止死循环
    while(set(V_new)!=set(V)):
        MIN=inf
        for edge in E: 				#对E循环，找到符合要求的最小权的边
            if edge[0] in V_new and edge[1] not in V_new:
                if edge[2]<MIN:
                    a[0]=edge[1]
                    a[1]=edge
                    MIN=edge[2]
            elif edge[1] in V_new and edge[0] not in V_new:
                if edge[2]<MIN:
                    a[0]=edge[0]
                    a[1]=edge
                    MIN=edge[2]
            
        if a[0]:
            V_new.append(a[0])
            E_new.append(a[1])
        E.remove(a[1]) 					#将找到的最小权的边移除E
        
        i+=1
        if i>10000:break
    return V_new,E_new

Kruskal算法

克鲁斯卡尔 $(K r u s k a l)$ 算法是先将边按照其权的大小排序，从最小权的边起，依次将不足以构成环的边加入最小生成树中。
算法思想：假设 $N=(V,\{E\})$ 是连通网，则令最小生成树的初始状态为只有 $n$ 个顶点而无边的非连通图 ${ } } T=\{V,\{\}\}$ ，图中每个顶点自成一个连通分量。在 $E$ 中选择代价最小的边，若该边依附的顶点落在 $T$ 中不同的连通分量上，则将此边加入到 $T$ 中，否则舍去此边而选择下一条代价最小的边。依次类推，直至 $T$ 中所有顶点都在同一连通分量上为止。

Kruskal代码

同样，这里我们也只需要网 $G$ 的顶点与边的列表即可

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Mon Mar 25 10:45:38 2019

@author: Administrator
"""

def Kruskal(G):
    vertices=G.vertices
    #例V=['A','B','C',...]
    edges=sorted(G.edges_list,key=lambda x:x[2]) 
    #例G.edges_list=[['A','B',weight1],...]，再将之按权的大小排序，赋值给edges
    Edges=[]
    connected=[]
    for V in vertices:
            connected.append([V])
    for E in edges:
        for j in range(len(connected)):
            if E[0] in connected[j]:
                m=j
            if E[1] in connected[j]:
                n=j
        if m!=n: 									#若E[0]与E[1]所属的连通分量不同
            connected[m]=connected[m]+connected[n]  #将第m个连通分量与第n个连通分量合并于m处
            del connected[n] 						#删去第n个连通分量
            Edges.append(E)
    return Edges