【数据结构】最小生成树（Prim算法、Kruskal算法）解析+完整代码

5.1 最小生成树

• 定义

  对一个带权连通无向图$G=(V,E)$，生成树不同，每棵树的权（即树中所有边上的权值之和）也可能不同。

  设R为G的所有生成树的集合，若T为R中边的权值之和最小的生成树，则T称为G的最小生成树（MST）。

• 性质

  1.最小生成树可能有多个，但边的权值之和总是唯一且最小的；

  2.最小生成树的边数=顶点数-1。砍掉一条则不连通，增加一条会出现回路；

  3.如果一个连通图本身就是一棵树，则其最小生成树就是它本身；

  4.只有连通图才有最小生成树，非连通图只有生成森林。

5.1.1 Prim算法

• 定义

  从某一个顶点开始构建生成树；

  每次将代价最小的新顶点纳入生成树，直到所有顶点都纳入为止。

  

  • 即选最小权值的结点

• 时间复杂度

  $O(|V{|}^2)$，适用于稠密图（|E|大的）。

• 算法的实现思想

  • 思路：

    从$V_0$开始，总共需要n-1轮处理。

    第一轮处理：循环遍历所有个结点，找到lowCast最低的，且还没加入树的顶点。

    再次循环遍历，更新还没加入的各个顶点的lowCast值。

  • 代码步骤：

    1.创建isJoin数组，初始为false，判断结点是否加入树。

    2.创建lowCost数组，用于存储到该结点的最短距离。

    3.从$v_0$开始，将与其连接的权值加入到lowCost数组中。

    4.遍历lowCast数组，找到最小值，将其加入树中，并继续遍历与其相连的边。

    

5.1.2 Kruskal算法

• 定义

  每次选则一条权值最小的边，使这条边的两头连通（原本已经连通的不选），直到所有结点都连通。

  

  • 即每次选最小的边

• 时间复杂度

  $O(|E|lo{g}_2|E|)$，适用于边稀疏图。

• 算法的实现思想

  • 思路：

    初始：将各条边按权值排序。

    共执行e轮，每轮判断两个顶点是否属于同一集合，需要$O(lo{g}_{2}e)$

5.1.3 最小生成树代码

A.邻接矩阵

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdbool.h>
#include <limits.h>

#define V 5 // 图的顶点数

// 找到距离集合最近的顶点
int min_key(int key[], bool mst_set[]) {
   
    int min = INT_MAX, min_index;
    for (int v = 0; v < V; v++) {
   
        if (mst_set[v] == false && key[v] < min) {
   
            min = key[v];
            min_index = v;
        }
    }
    return min_index;
}

// 打印最小生成树
void print_mst(int parent[], int graph[V][V]) {
   
    printf("Edge   Weight\n");
    for (int i = 1; i < V; i++)
        printf("%d - %d    %d \n", parent[i], i, graph