Leetcode 300. 最长上升子序列【动态规划&贪心+二分】

问题描述

给定一个无序的整数数组，找到其中最长上升子序列的长度。
$输入$：
$[10,9,2,5,3,7,101,18]$
$输出$：
$4$
$解释$：
最长的上升子序列为：$[2,3,7,101]$

解题报告

动态规划

$dp[i]$ 表示以第 $i$ 个数结尾的最长上升子序列的长度。
时间复杂度：$O(n^2)$
空间复杂度：$O(n)$

贪心+二分

考虑一个简单的贪心，如果我们要使上升子序列尽可能的长，则我们需要让序列上升得尽可能慢，因此我们希望每次在上升子序列最后加上的那个数尽可能的小。

$dp[i]$ 表示长度为 i 的最长上升子序列的末尾元素的最小值

可以证明 $dp[]$ 是一个递增序列

设当前已求出的最长上升子序列的长度为 $len$（初始时为1），从前往后遍历数组 $nums$，在遍历到 $nums[i]$ 时：
(1) 如果 $nums[i]>dp[len]$, 则将 $dp[len+1]$ 更新成 $nums[i]$，同时 $len$ 加1；
(2) 否则，在数组 $dp$ 中二分查找，找到 最后一个 比 $nums[i]$ 小的数 $dp[k]$，然后将 $dp[k+1]$ 更新成 $nums[i]$。

实现代码

动态规划实现

class Solution {
public:
    int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
        int n=nums.size();
        int ans=-2147483648;
        if(n==0)
            return 0;
        vector<int> dp(n,1);
        for(int i=0;i<n;i++){
            for(int j=0;j<i;j++){
                if(nums[i]>nums[j])
                    dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
            }
            ans=max(ans,dp[i]);
        }
        return ans;
    }
};

贪心+二分实现

class Solution {
public:
    int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
        int len = 1, n = (int)nums.size();
        if (n == 0) return 0;
        vector<int> d(n + 1, 0);
        d[len] = nums[0];
        for (int i = 1; i < n; ++i) {
            if (nums[i] > d[len]) d[++len] = nums[i];
            else{
                int l = 1, r = len, pos = 0; 
                // 如果找不到说明所有的数都比 nums[i] 大，此时要更新 d[1]，
                // 所以这里将 pos 设为 0
                while (l <= r) {
                    int mid = (l + r) >> 1;
                    if (d[mid] < nums[i]) {
                        pos = mid;
                        l = mid + 1;
                    }
                    else r = mid - 1;
                }
                d[pos + 1] = nums[i];
            }
        }
        return len;
    }
};

参考资料

[1] Leetcode 300. 最长上升子序列
[2] 官方题解区