费马小定理和例题逆元的应用

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本文介绍了费马小定理的基本概念及证明方法，并通过一个具体的编程问题展示如何利用该定理解决大数运算中的模运算问题。文章还提供了一段使用快速幂模运算实现费马小定理的应用代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

费马小定理：假如p是质数，且gcd(a,p)=1，那么 a(p-1)≡1（mod p）。即：假如a是整数，p是质数，且a,p互质(即两者只有一个公约数1)，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。

同余证法：
任意取一个质数，比如13。考虑从1到12的一系列整数1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，给这些数都乘上一个与13互质的数，比如3，得到3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36。对于模13来说，这些数同余于3,6,9,12,2,5,8,11,1,4,7,10。这些余数实际上就是原来的1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，只是顺序不同而已。
把1,2,3,…,12统统乘起来，乘积就是12的阶乘12！。把3,6,9,…,36也统统乘起来，并且提出公因子3，乘积就是312×12！。对于模13来说，这两个乘积都同余于1,2,3,…,12系列，尽管顺序不是一一对应，即312×12！≡12！mod 13。两边同时除以12！得312≡1 mod 13。如果用p代替13，用x代替3，就得到费马小定理xp－1≡1 mod p。

C~K的难题
Time Limit: 1000MS Memory Limit: 65536KB

Problem Description
众所周知 C~K 喜欢数学，但是他最近被一个题给难住了，题目是这样的。
要求 (A/B)%10007，但由于 A 很大，我们只给出 n (n = A%10007)（我们给定的A必能被B整除，且 gcd(B,10007) = 1）。
你能帮助他解答吗？他会很感谢你的。

Input
数据的第一行是一个 T，表示有 T 组数据。
每组数据有两个数 n (0 <= n < 10007) 和 B (1 <= B <= 10^9)。

Output
对应每组数据输出 (A/B)%10007。

Example Input
2
1000 53
87 123456789

Example Output
8893
7424

Hint

Author
「山东理工大学第一届ACM知识挑战赛（机试）」C~K

以下为Accepted代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

long long power_mod(long long a, long long k, long long mod)///快速乘
{
    long long ans = 1;
    while(k)
    {
        if(k & 1)///k是奇数
            ans = ans * a % mod;
        a = a * a % mod;
        k >>= 1;///k /= 2;
    }
    return ans;
}

const int mod = 10007;

int main()
{
    int T;
    long long n, b, x;
    scanf("%d", &T);
    while(T--)
    {
        scanf("%lld %lld", &n, &b);
        x = power_mod(b, mod-2, mod);
        printf("%lld\n", n * x % mod);///费马小定理
    }
    return 0;
}