利用费马小定理求逆元经典案例

最新推荐文章于 2022-04-08 12:30:26 发布

prestu

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分类专栏：逆元文章标签：费马小定理逆元

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逆元的概念在这就不多说了不知道的自行百度。

费马小定理：a是不能被质数p整除的正整数，则有a p−1 ≡ 1 (mod p)

推导：a^(p−1) ≡ 1 (mod p) = a*a^(p−2 )≡ 1 (mod p) ;

则a的逆元为 a^(p−2)。利用费马小定理求逆元的前提强调p一定是质数。

说这些你可能不太明白，先看一道题就明白了，

hdu1576题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1576

要求(A/B)%9973，但由于A很大，我们只给出n(n=A%9973)(我们给定的A必能被B整除，且gcd(B,9973) = 1)。

Input
数据的第一行是一个T，表示有T组数据。
每组数据有两个数n(0 <= n < 9973)和B(1 <= B <= 10^9)。

Output
对应每组数据输出(A/B)%9973。

Sample Input
2
1000 53
87 123456789

Sample Output
7922
6060

如果我们直接求肯定不行，所以要利用逆元求解，并且9973（即是上面的p）为质数，

设C是B的逆元，则有B*C≡1(mod P)；推论：(A/B)mod P = (A/B)*1mod p = (A/B)*B*C mod p=A*C(mod p); 即A/B的模等于A*(B的逆元)的模；l利用费马小定理得出C=B^(p-2);则原式可转化为（A*C）%p=（A%p*C%p）%p；个人见解，欢迎纠错

代码：

#include<stdio.h>
#include<math.h>
#define mod 9973
typedef long long ll;//对 long long重命名
ll DD(ll a ,ll b)//求解 a^b%mod(因为a^b太大需利用快速幂求解)
{
   ll res=1;
   if(b<0)
   return 0;
   while(b)
   {
       if(b&1) res=res*a%mod;
       a=a*a%mod;
       b>>=1;
   }
   return res;
}
int main()
{

   ll a,b,i;
   ll t;
   scanf("%lld",&t);
   while(t--)
   {
       scanf("%lld %lld",&a,&b);
       i=DD(b,(mod-2));//i即为 b的逆元
   printf("%lld\n",(a%mod*i%mod)%mod); //A*C）%p=（A%p*C%p）%p
   }
   return 0;
}