数学：全概率公式和贝叶斯公式

最新推荐文章于 2021-12-04 16:48:48 发布

qq_26697045

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本文深入探讨了全概率公式与贝叶斯公式的应用，通过具体例题讲解了如何利用这些公式解决实际问题，如计算患者来自特定地区的概率。

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全概率公式： $P\left ( A \right )=P\left ( A\mid B_{1} \right )P\left ( B_{1} \right )+ P\left ( A\mid B_{2} \right )P\left ( B_{2} \right )+\cdot \cdot \cdot$

贝叶斯公式： $P\left ( B_{i}\mid A \right )=\frac{P\left ( A\mid B_{i} \right )P\left ( B_{i} \right )}{P\left ( A \right )}=\frac{P\left ( A\mid B_{i} \right )P\left ( B_{i} \right )}{P\left ( A\mid B_{1} \right )P\left ( B_{1} \right )+P\left ( A\mid B_{2} \right )P\left ( B_{2} \right )+\cdot \cdot \cdot }$

例题：

两个地区 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 的人口比例是 1:3 ，已知 $C_{1}$ 地区患某病的概率是 $0.1\%$ ， $C_{2}$ 地区是 $0.02\%$ 。现有一位该病患者，来自 $C_{1}$ 地区的概率是？

解1：根据贝叶斯公式

设表示“一个人是该病患者”。

$P\left ( A \right )=P\left ( A \mid C_{1}\right )P\left ( C_{1} \right )+P\left ( A \mid C_{2}\right )P\left ( C_{2} \right )=0.1\%\times \frac{1}{4}+0.02\%\times \frac{3}{4}$ ，

$P\left ( C_{1} \mid A\right )=\frac{P\left ( A\mid C_{1} \right )P\left ( C_{1} \right )}{P\left ( A \right )}=\frac{0.1\%\times \frac{1}{4}}{P\left ( A \right )}=\frac{0.1\times 1}{0.1\times 1+0.02\times 3}=0.625$ 。